Inversa y traspuesta. Matriz ortogonal

**4.– (2 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, halla $x$ e $y$ para que su inversa, $A^{-1}$, coincida con su traspuesta, $A^T$. En tal caso, halla $A^T A^2 - 2A$.** La condición $A^{-1} = A^T$ define a las matrices ortogonales. Para que esto ocurra, se debe cumplir que el producto de la matriz por su traspuesta sea la matriz identidad: $$A \cdot A^T = I$$ Primero, escribimos la matriz traspuesta $A^T$, que se obtiene intercambiando filas por columnas: $$A^T = \begin{pmatrix} 3/5 & y & 0 \\ x & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es ortogonal si sus filas (o columnas) son vectores unitarios y perpendiculares entre sí, lo que equivale a $A \cdot A^T = I$.

Realizamos la multiplicación de las matrices $A$ y $A^T$: $$A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 3/5 & x & 0 \\ y & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3/5 & y & 0 \\ x & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - Fila 1, Columna 1: $(3/5) \cdot (3/5) + x \cdot x + 0 \cdot 0 = 9/25 + x^2$ - Fila 1, Columna 2: $(3/5) \cdot y + x \cdot (-3/5) + 0 \cdot 0 = 3y/5 - 3x/5$ - Fila 2, Columna 1: $y \cdot (3/5) + (-3/5) \cdot x + 0 \cdot 0 = 3y/5 - 3x/5$ - Fila 2, Columna 2: $y \cdot y + (-3/5) \cdot (-3/5) + 0 \cdot 0 = y^2 + 9/25$ - El resto de elementos de la tercera fila y columna coinciden con la identidad debido a los ceros y al 1. La matriz resultante es: $$A \cdot A^T = \begin{pmatrix} 9/25 + x^2 & 3y/5 - 3x/5 & 0 \\ 3y/5 - 3x/5 & y^2 + 9/25 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Para que $A \cdot A^T = I$, igualamos la matriz obtenida a la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: 1) $\dfrac{9}{25} + x^2 = 1 \implies x^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \implies x = \pm \dfrac{4}{5}$ 2) $\dfrac{3y}{5} - \dfrac{3x}{5} = 0 \implies 3y = 3x \implies y = x$ 3) $y^2 + \dfrac{9}{25} = 1 \implies y^2 = \dfrac{16}{25} \implies y = \pm \dfrac{4}{5}$ Dado que $y = x$, tenemos dos posibles soluciones: - Caso 1: $x = 4/5$ y $y = 4/5$ - Caso 2: $x = -4/5$ y $y = -4/5$ ✅ **Resultado (valores de x e y):** $$\boxed{x = y = \pm \dfrac{4}{5}}$$

Para hallar $A^T A^2 - 2A$, utilizaremos las propiedades de las matrices en lugar de realizar cálculos numéricos directos, lo cual es más eficiente. Como sabemos que $A^{-1} = A^T$, entonces se cumple que $A^T A = I$. Sustituimos en la expresión: $$A^T A^2 - 2A = (A^T A) A - 2A$$ $$A^T A^2 - 2A = I \cdot A - 2A$$ $$A^T A^2 - 2A = A - 2A = -A$$ 💡 **Tip:** Siempre que un ejercicio te pida una operación compleja tras imponer una condición (como $A^{-1}=A^T$), intenta simplificar la expresión usando dicha propiedad antes de operar con los números.

Finalmente, calculamos $-A$. Dependiendo del signo elegido para $x$ e $y$ en el apartado anterior, la matriz será: Si $x = y = 4/5$: $$-A = \begin{pmatrix} -3/5 & -4/5 & 0 \\ -4/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Si $x = y = -4/5$: $$-A = \begin{pmatrix} -3/5 & 4/5 & 0 \\ 4/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ De forma general, podemos expresarlo como: ✅ **Resultado (matriz final):** $$\boxed{A^T A^2 - 2A = \begin{pmatrix} -3/5 & -x & 0 \\ -y & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \text{ con } x=y=\pm 4/5}$$