Cálculo de la función a partir de su integral y estudio de continuidad

**3.– (2 puntos) Halla la función $f$ sabiendo que $\int f(x) \, dx = \ln \frac{(x - 1)^3}{(x + 2)^2} + k$. Analiza la continuidad de la función $f$ en las abcisas $x = -2$ y $x = 1$.** Por la definición de integral indefinida, sabemos que si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces la derivada de la primitiva es igual a la función original: $$f(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int f(x) \, dx \right]$$ En este caso, se nos da que la primitiva es $F(x) = \ln \frac{(x - 1)^3}{(x + 2)^2} + k$. Para facilitar la derivación, utilizaremos primero las **propiedades de los logaritmos**: 1. $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ 2. $\ln(A^n) = n \ln A$ Aplicando estas propiedades a nuestra expresión: $$F(x) = \ln((x - 1)^3) - \ln((x + 2)^2) + k$$ $$F(x) = 3 \ln(x - 1) - 2 \ln(x + 2) + k$$ 💡 **Tip:** Siempre es preferible simplificar expresiones logarítmicas antes de derivar para evitar el uso excesivo de la regla de la cadena y la regla del cociente.

Ahora derivamos la expresión simplificada de $F(x)$ respecto a $x$ para obtener $f(x)$: $$f(x) = \frac{d}{dx} [3 \ln(x - 1) - 2 \ln(x + 2) + k]$$ Recordando que la derivada de $\ln(u)$ es $\frac{u'}{u}$: $$f(x) = 3 \cdot \frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \frac{1}{x + 2}$$ Para expresar la función de forma compacta, operamos para obtener un denominador común: $$f(x) = \frac{3(x + 2) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{3x + 6 - 2x + 2}{x^2 + 2x - x - 2} = \frac{x + 8}{x^2 + x - 2}$$ ✅ **Resultado (función $f$):** $$\boxed{f(x) = \frac{x + 8}{(x - 1)(x + 2)}}$$

La función $f(x) = \frac{x + 8}{(x - 1)(x + 2)}$ es una función racional, por lo que es continua en todo su dominio, que es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$. Estudiamos los límites en los puntos indicados: **Para $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x + 8}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1 + 8}{0 \cdot 3} = \frac{9}{0} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, la función presenta una **discontinuidad inevitable de salto infinito** en $x = 1$ (existe una asíntota vertical). **Para $x = -2$:** $$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{x + 8}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{-2 + 8}{-3 \cdot 0} = \frac{6}{0} = \pm\infty$$ Igualmente, en $x = -2$ el límite es infinito, por lo que existe otra **discontinuidad inevitable de salto infinito**. 💡 **Tip:** En una función racional, si al evaluar un punto el resultado es del tipo $k/0$ (con $k \neq 0$), el límite es infinito y siempre hay una discontinuidad de salto infinito. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{\text{En } x = -2 \text{ y en } x = 1 \text{ la función tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.}}$$