Optimización del área de un jardín en un semicírculo

Para resolver este problema de optimización, primero representamos el semicírculo en un sistema de ejes cartesianos. Colocamos el diámetro sobre el eje $X$, centrado en el origen $(0,0)$. La ecuación de la circunferencia de radio $R = 20$ es $x^2 + y^2 = 20^2$. Como es un semicírculo superior, la relación entre las coordenadas de los puntos sobre la curva es: $$y = \sqrt{400 - x^2}$$ Si el jardín es un rectángulo con base sobre el diámetro, sus vértices superiores estarán en la curva en los puntos $(x, y)$ y $(-x, y)$, donde $x$ es la distancia desde el origen hasta un extremo de la base. Por tanto: - La **base** del rectángulo es $b = 2x$. - La **altura** del rectángulo es $h = y = \sqrt{400 - x^2}$. El dominio de la variable $x$ está restringido por el radio del semicírculo: $x \in (0, 20)$. 💡 **Tip:** Dibujar la situación ayuda a identificar que la base se divide en dos partes iguales respecto al eje de simetría del semicírculo, de ahí que sea $2x$.

El área del jardín rectangular $A$ es el producto de su base por su altura: $$A(x) = \text{base} \cdot \text{altura} = 2x \cdot \sqrt{400 - x^2}$$ Queremos encontrar el valor de $x$ que maximiza esta función en el intervalo $(0, 20)$. Para facilitar la derivación, podemos introducir el factor $2x$ dentro de la raíz (elevándolo al cuadrado): $$A(x) = \sqrt{(2x)^2 \cdot (400 - x^2)} = \sqrt{4x^2(400 - x^2)} = \sqrt{1600x^2 - 4x^4}$$ 💡 **Tip:** Maximizar $A(x)$ es equivalente a maximizar su cuadrado $f(x) = [A(x)]^2 = 1600x^2 - 4x^4$, lo cual simplifica mucho los cálculos al evitar la raíz cuadrada en la derivada.

Derivamos la función $A(x) = (1600x^2 - 4x^4)^{1/2}$ usando la regla de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1600x^2 - 4x^4}} \cdot (3200x - 16x^3)$$ Simplificamos la expresión: $$A'(x) = \frac{1600x - 8x^3}{\sqrt{1600x^2 - 4x^4}}$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero ($A'(x) = 0$): $$1600x - 8x^3 = 0 \implies 8x(200 - x^2) = 0$$ Como $x \gt 0$ (no puede ser cero pues no habría jardín), resolvemos: $$200 - x^2 = 0 \implies x^2 = 200 \implies x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ El valor crítico es **$x = 10\sqrt{2} \approx 14,14$** metros. 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de dimensiones físicas, descartamos siempre las soluciones negativas.

Estudiamos el signo de la derivada $A'(x)$ para confirmar que en $x = 10\sqrt{2}$ hay un máximo relativo. El denominador de $A'(x)$ siempre es positivo en el dominio, así que el signo depende del numerador $1600x - 8x^3 = 8x(200 - x^2)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10\sqrt{2}) & 10\sqrt{2} & (10\sqrt{2}, 20) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ Al pasar de creciente a decreciente, confirmamos que existe un **máximo relativo** en $x = 10\sqrt{2}$.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos las dimensiones del jardín: 1. **Base ($b$):** $$b = 2x = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \approx 28,28 \text{ m}$$ 2. **Altura ($h$):** $$h = \sqrt{400 - x^2} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \text{ m}$$ Notamos que, curiosamente, la altura es exactamente la mitad de la base ($h = b/2$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base: } 20\sqrt{2} \text{ m, Altura: } 10\sqrt{2} \text{ m}}$$