Ecuación de la recta tangente y propiedad del segmento entre ejes

Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto $(a, f(a))$, primero necesitamos calcular la derivada de la función para conocer la pendiente $m = f'(a)$. Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$, podemos expresarla como $f(x) = x^{-1}$ para facilitar la derivación: $$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -rac{1}{x^2}$$ Evaluamos la derivada en la abscisa del punto de tangencia, que es $x = 3$: $$m = f'(3) = -rac{1}{3^2} = -rac{1}{9}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

Utilizamos la ecuación en forma punto-pendiente para la recta que pasa por $(x_0, y_0) = (3, 1/3)$ con pendiente $m = -1/9$: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ $$y - rac{1}{3} = -rac{1}{9}(x - 3)$$ Multiplicamos y simplificamos para obtener la ecuación explícita: $$y - rac{1}{3} = -rac{1}{9}x + rac{3}{9}$$ $$y = -rac{1}{9}x + rac{1}{3} + rac{1}{3}$$ $$y = -rac{1}{9}x + rac{2}{3}$$ También podemos expresarla en forma general multiplicando todo por 9: $$9y = -x + 6 \implies x + 9y - 6 = 0$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -rac{1}{9}x + rac{2}{3}}$$

Para comprobar que el punto de tangencia es el punto medio del segmento comprendido entre los ejes, primero hallamos los puntos de corte de la recta con dichos ejes. **Corte con el eje $Y$ ($x = 0$):** $$y = -rac{1}{9}(0) + rac{2}{3} = rac{2}{3}$$ El punto es **$A(0, 2/3)$**. **Corte con el eje $X$ ($y = 0$):** $$0 = -rac{1}{9}x + rac{2}{3} \implies rac{1}{9}x = rac{2}{3} \implies x = rac{18}{3} = 6$$ El punto es **$B(6, 0)$**. El segmento del enunciado es el que une los puntos $A$ y $B$.

Calculamos las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $AB$ usando la fórmula: $$M = \left( rac{x_A + x_B}{2}, rac{y_A + y_B}{2} ight)$$ Sustituimos los valores de $A(0, 2/3)$ y $B(6, 0)$: $$M = \left( rac{0 + 6}{2}, rac{2/3 + 0}{2} ight) = \left( rac{6}{2}, rac{2/3}{2} ight) = \left( 3, rac{1}{3} ight)$$ El punto medio obtenido es **$(3, 1/3)$**, que coincide exactamente con el punto de tangencia original. 💡 **Tip:** El punto medio de un segmento siempre tiene por coordenadas la media aritmética de las coordenadas de sus extremos. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Queda demostrado que el punto de tangencia divide al segmento } AB \text{ en dos partes iguales.}}$$