Probabilidad diagnóstica: Teorema de Bayes

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $E$: La persona padece la enfermedad. - $S$: La persona está sana (suceso contrario a $E$, es decir, $\bar{E}$). - $+$: La prueba de detección da un resultado positivo. - $-$: La prueba de detección da un resultado negativo. Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad: - Probabilidad de estar enfermo: $P(E) = 0.02$ (2 %). - Probabilidad de estar sano: $P(S) = 1 - 0.02 = 0.98$ (98 %). - Sensibilidad (positivo en enfermos): $P(+|E) = 0.98$. - Probabilidad de falso positivo (positivo en sanos): $P(+|S) = 0.04$. A partir de aquí, completamos las probabilidades condicionadas restantes: - $P(-|E) = 1 - P(+|E) = 0.02$. - $P(-|S) = 1 - P(+|S) = 0.96$. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**(i) la probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.** Para calcular la probabilidad de estar sano dado que el resultado es positivo ($P(S|+)$), primero necesitamos hallar la probabilidad total de que el test sea positivo, $P(+)$. Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(S) \cdot P(+|S)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(+) = 0.02 \cdot 0.98 + 0.98 \cdot 0.04$$ $$P(+) = 0.0196 + 0.0392 = 0.0588$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todos los caminos del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, el signo $+$).

Ahora que conocemos $P(+)$, aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad a posteriori de estar sano habiendo dado positivo: $$P(S|+) = \frac{P(S \cap +)}{P(+)} = \frac{P(S) \cdot P(+|S)}{P(+)}$$ Sustituimos los valores: $$P(S|+) = \frac{0.98 \cdot 0.04}{0.0588} = \frac{0.0392}{0.0588}$$ Realizamos la división: $$P(S|+) = \frac{392}{588} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{P(S|+) \approx 0.6667}$$ 💡 **Tip:** Fíjate que aunque el test parece fiable, la probabilidad de estar sano habiendo dado positivo es alta (66.67 %). Esto ocurre porque la prevalencia de la enfermedad en la población es muy baja (2 %).

**(ii) habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.** Para hallar $P(E|-)$, primero necesitamos la probabilidad total de que el test sea negativo, $P(-)$. Podemos calcularlo restando de la unidad el resultado anterior: $$P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0.0588 = 0.9412$$ O bien, aplicando de nuevo el Teorema de la Probabilidad Total sobre las ramas negativas: $$P(-) = P(E) \cdot P(-|E) + P(S) \cdot P(-|S)$$ $$P(-) = 0.02 \cdot 0.02 + 0.98 \cdot 0.96 = 0.0004 + 0.9408 = 0.9412$$

Calculamos la probabilidad condicionada solicitada mediante el **Teorema de Bayes**: $$P(E|-) = \frac{P(E \cap -)}{P(-)} = \frac{P(E) \cdot P(-|E)}{P(-)}$$ Sustituimos los datos: $$P(E|-) = \frac{0.02 \cdot 0.02}{0.9412} = \frac{0.0004}{0.9412}$$ Calculamos el valor final: $$P(E|-) \approx 0.00042498...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(E|-) \approx 0.0004$$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{P(E|-) \approx 0.0004}$$ 💡 **Tip:** Esta probabilidad representa los "falsos negativos". En este caso es extremadamente baja, lo que indica que si el test da negativo, es casi seguro que la persona está sana.