Distribución normal: porcentaje de llenado e intervalo central

**(i) el porcentaje de vasos que se llenarán con más de 150 ml.** Primero definimos la variable aleatoria que modela el experimento: $X = \text{cantidad de café en ml dispensed por la máquina.}$ El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 125$ y desviación típica $\sigma = 20$: $$X \sim N(125, 20)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el cambio: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite transformar cualquier valor de $X$ en un valor $Z$ que representa cuántas desviaciones típicas se aleja de la media.

Queremos calcular la probabilidad de que un vaso tenga más de $150\text{ ml}$, es decir, $p(X \gt 150)$. Tipificamos el valor $150$: $$Z = \frac{150 - 125}{20} = \frac{25}{20} = 1,25$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$p(X \gt 150) = p(Z \gt 1,25)$$ Como las tablas suelen ofrecer el área a la izquierda ($p(Z \le z)$), usamos el suceso contrario: $$p(Z \gt 1,25) = 1 - p(Z \le 1,25)$$ Buscando en la tabla de la normal estándar el valor $z = 1,25$: $$p(Z \le 1,25) = 0,8944$$ Sustituimos: $$p(X \gt 150) = 1 - 0,8944 = 0,1056$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por $100$: $$\% = 0,1056 \cdot 100 = 10,56\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{10,56\%}$$

**(ii) entre que capacidades (ml) está el 60 % de los cafés que dispensa la máquina.** Nos piden encontrar un intervalo centrado en la media $[125 - d, 125 + d]$ tal que la probabilidad sea del $60\%$ ($0,60$): $$p(125 - d \le X \le 125 + d) = 0,60$$ Si el $60\%$ está en el centro, queda un $40\%$ a repartir en las dos colas de la distribución ($20\%$ en cada una). Por tanto, el valor que marca el límite superior ($b$) deja a su izquierda el $60\%$ central más el $20\%$ de la cola izquierda: $$p(X \le b) = 0,60 + 0,20 = 0,80$$ Tipificamos para encontrar el valor $z$ correspondiente en la tabla $N(0, 1)$: $$p(Z \le z) = 0,80$$ Buscando en la tabla el valor más próximo a $0,80$ (o interpolando), obtenemos: $$z \approx 0,84$$ 💡 **Tip:** Cuando un intervalo es centrado, los valores de $Z$ son simétricos: $-z$ y $z$. En este caso, $z = 0,84$ y $-z = -0,84$.

Ahora que conocemos $z = 0,84$, despejamos los valores de $X$ usando la fórmula de tipificación $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$: **Límite superior ($b$):** $$0,84 = \frac{b - 125}{20} \implies b - 125 = 0,84 \cdot 20 \implies b = 125 + 16,8 = 141,8\text{ ml}$$ **Límite inferior ($a$):** $$-0,84 = \frac{a - 125}{20} \implies a - 125 = -0,84 \cdot 20 \implies a = 125 - 16,8 = 108,2\text{ ml}$$ Por tanto, el $60\%$ de los cafés están entre $108,2\text{ ml}$ y $141,8\text{ ml}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Entre } 108,2\text{ ml y } 141,8\text{ ml}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{1}{20\\sqrt{2\\pi}}e^{-0.5\\left(\\frac{x-125}{20}\\right)^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area60", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{108.2 \\le x \\le 141.8\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 50, "right": 200, "bottom": -0.005, "top": 0.025 } } }