Ecuaciones de planos: paralelismo y perpendicularidad

**(i) Paralelo a $\pi : 4x + 3y - 2z + 4 = 0$.** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (o el mismo). El vector normal de $\pi$ se obtiene directamente de los coeficientes de $x, y$ y $z$: $$\vec{n}_{\pi} = (4, 3, -2)$$ Como el nuevo plano $\pi_1$ debe ser paralelo a $\pi$, compartirá el mismo vector normal. Por tanto, su ecuación será de la forma: $$\pi_1: 4x + 3y - 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(2, -1, 3)$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación: $$4(2) + 3(-1) - 2(3) + D = 0$$ $$8 - 3 - 6 + D = 0$$ $$-1 + D = 0 \implies D = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{4x + 3y - 2z + 1 = 0}$$

**(ii) Perpendicular a la recta $r \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{-4}$.** Si un plano $\pi_2$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi_2}$. A partir de la ecuación continua de la recta, extraemos su vector director (los denominadores): $$\vec{v}_r = (3, 2, -4)$$ Por tanto, el vector normal de nuestro plano es $\vec{n}_{\pi_2} = (3, 2, -4)$, y su ecuación general será: $$\pi_2: 3x + 2y - 4z + D' = 0$$ Imponemos que el plano contenga al punto $P(2, -1, 3)$ para calcular el valor de $D'$: $$3(2) + 2(-1) - 4(3) + D' = 0$$ $$6 - 2 - 12 + D' = 0$$ $$-8 + D' = 0 \implies D' = 8$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, la dirección de la recta marca la "inclinación" (normal) del plano. Es decir: $\vec{v}_r \parallel \vec{n}_{\pi}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x + 2y - 4z + 8 = 0}$$