Posición relativa de cuatro planos con parámetro

Para analizar la posición relativa de los cuatro planos, debemos estudiar el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones. Utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. El sistema tiene 3 incógnitas ($x, y, z$) y 4 ecuaciones. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & a^2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 1 & 3a \end{pmatrix}$$ Como el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, la clave está en el determinante de la matriz ampliada $A^*$, que es una matriz cuadrada de orden 4. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz ampliada $4 \times 4$ es distinto de cero, el rango de $A^*$ será 4, lo que implica que el sistema es incompatible (los cuatro planos no tienen ningún punto en común).

Calculamos $|A^*|$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos: $$|A^*| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 & a^2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 1 & 3a \end{vmatrix}$$ Hacemos ceros en la segunda columna usando la segunda fila ($F_2$): - $F_1 \to F_1 + F_2$ - $F_3 \to F_3 - F_2$ - $F_4 \to F_4 - F_2$ $$|A^*| = \begin{vmatrix} a+1 & 0 & 2 & a^2+1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 3a-1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda columna: $$|A^*| = -(-1) \begin{vmatrix} a+1 & 2 & a^2+1 \\ 2 & -2 & 0 \\ 5 & 0 & 3a-1 \end{vmatrix}$$ Calculamos este determinante de orden 3 (por Sarrus o desarrollando por la segunda fila): $$|A^*| = 1 \cdot \left[ (a+1)(-2)(3a-1) + 2 \cdot 0 \cdot 5 + (a^2+1) \cdot 2 \cdot 0 - (5 \cdot (-2) \cdot (a^2+1) + 0 + (3a-1) \cdot 2 \cdot 2) \right]$$ $$|A^*| = -2(3a^2 + 2a - 1) - (-10a^2 - 10 + 12a - 4)$$ $$|A^*| = -6a^2 - 4a + 2 + 10a^2 - 12a + 14 = 4a^2 - 16a + 16$$ Factorizando: $$|A^*| = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a-2)^2$$ $$\boxed{|A^*| = 0 \iff a = 2}$$

Antes de discutir el sistema, determinamos el rango de $A$. Buscamos un menor de orden 3 no nulo. Tomamos las tres últimas filas, que no dependen de $a$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 + 6 - 3) - (-6 + 1 - 3) = 2 - (-8) = 10 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, el rango de $A$ es siempre 3, independientemente del valor de $a$. $$\boxed{\text{rg}(A) = 3 \quad \forall a \in \mathbb{R}}$$

Ahora analizamos los casos para el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$** En este caso, $|A^*| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 4$. Como $\text{rg}(A) = 3 \neq \text{rg}(A^*) = 4$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Posición relativa:** Los cuatro planos no tienen ningún punto común. Dado que el rango de las tres últimas ecuaciones es 3, esos tres planos se cortan en un punto, pero el primer plano no pasa por dicho punto. **Caso 2: $a = 2$** Si $a = 2$, el determinante $|A^*| = 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) < 4$. Como ya sabemos que $\text{rg}(A) = 3$ y $A$ es una submatriz de $A^*$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Posición relativa:** Existe una única solución. Los cuatro planos son **secantes en un único punto**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada y con el número de incógnitas, hay una solución única (un punto).

Resumimos el análisis de la posición relativa de los planos: - Si $\mathbf{a \neq 2}$: El sistema es incompatible. Los planos **no tienen puntos comunes en su totalidad**. Específicamente, se cortan tres a tres en puntos distintos. - Si $\mathbf{a = 2}$: El sistema es compatible determinado. Los cuatro planos **se cortan en un único punto**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Si } a=2, \text{ secantes en un punto. Si } a \neq 2, \text{ no hay punto común (SI).}}$$