Ecuaciones matriciales y matriz inversa con parámetros

**6.– (2 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} a - 4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$, halla $a$ para que $A^2 - A = 12I + B$ con $I$ la matriz identidad de orden 2. A continuación, halla la matriz $X$ tal que $XA = AX = I$.** En primer lugar, calculamos el término $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot a + 1 \cdot 0 & a \cdot 1 + 1 \cdot (-a) \\ 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-a) \cdot (-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos la matriz $A$: $$A^2 - A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 - a & -1 \\ 0 & a^2 + a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna. En este caso, al ser una matriz con una diagonal de ceros en una esquina, el cálculo se simplifica considerablemente.

Calculamos el segundo miembro de la ecuación matricial, donde $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$12I + B = 12 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a - 4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a - 4 & -1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$$ $$12I + B = \begin{pmatrix} 12 + a - 4 & -1 \\ 0 & 12 + 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 8 & -1 \\ 0 & 2a + 12 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al sumar matrices, simplemente se suman los elementos que ocupan la misma posición.

Igualamos ambas matrices componente a componente: $$\begin{pmatrix} a^2 - a & -1 \\ 0 & a^2 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 8 & -1 \\ 0 & 2a + 12 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones para $a$: 1) $a^2 - a = a + 8 \implies a^2 - 2a - 8 = 0$ 2) $-1 = -1$ (se cumple siempre) 3) $0 = 0$ (se cumple siempre) 4) $a^2 + a = 2a + 12 \implies a^2 - a - 12 = 0$ Resolvemos la primera ecuación de segundo grado: $$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \implies a_1 = 4, \; a_2 = -2$$ Resolvemos la segunda ecuación de segundo grado: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-12)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \implies a_3 = 4, \; a_4 = -3$$ Para que la igualdad matricial sea cierta, el valor de $a$ debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente. El único valor común es **$a = 4$**. ✅ **Resultado (valor de $a$):** $$\boxed{a = 4}$$

Se pide hallar la matriz $X$ tal que $XA = AX = I$. Por definición, esto significa que $X$ es la matriz inversa de $A$, es decir, **$X = A^{-1}$**. Sustituimos $a = 4$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = 4(-4) - 0(1) = -16$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es inversible. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta: $$A^t = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$: $$X = A^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4}{-16} & \frac{-1}{-16} \\ \frac{0}{-16} & \frac{4}{-16} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/16 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado (matriz $X$):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/16 \\ 0 & -1/4 \end{pmatrix}}$$