Resolución de un sistema con parámetros mediante la matriz inversa

El enunciado nos pide calcular el producto $A^{-1}b$. Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial como: $$AX = b$$ Donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ es la matriz columna de las incógnitas y $b$ es la matriz de términos independientes. Si la matriz $A$ es invertible (es decir, su determinante es distinto de cero), podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}AX = A^{-1}b \implies IX = A^{-1}b \implies X = A^{-1}b$$ Por tanto, calcular $A^{-1}b$ es equivalente a **resolver el sistema de ecuaciones** para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$. 💡 **Tip:** No es necesario calcular $A^{-1}$ mediante adjuntos o Gauss-Jordan. Resolver el sistema por la Regla de Cramer es el camino más directo para hallar $A^{-1}b$ sin calcular explícitamente la inversa.

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y calculamos su determinante $|A|$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (a+1) + a \cdot a \cdot 0] - [a \cdot 1 \cdot (a+1) + (-1) \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 0]$$ $$|A| = [1 + a + 1 + 0] - [a^2 + a - a + 0]$$ $$|A| = a + 2 - a^2$$ El sistema tendrá solución única (será Compatible Determinado) siempre que $|A| \neq 0$. Las raíces de $-a^2 + a + 2 = 0$ son $a = -1$ y $a = 2$. Supondremos que $a \neq -1, 2$ para que exista $A^{-1}$. $$\boxed{|A| = -a^2 + a + 2}$$

Para hallar $x$, sustituimos la primera columna de $|A|$ por la columna de términos independientes $b = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a+2 \end{pmatrix}$: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} a & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\Delta_x = [a \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot (a+2) + a \cdot a \cdot 0] - [a \cdot 1 \cdot (a+2) + (-1) \cdot a \cdot 1 + a \cdot (-1) \cdot 0]$$ $$\Delta_x = [a + a + 2 + 0] - [a^2 + 2a - a + 0]$$ $$\Delta_x = 2a + 2 - (a^2 + a) = -a^2 + a + 2$$ Como $x = \frac{\Delta_x}{|A|}$: $$x = \frac{-a^2 + a + 2}{-a^2 + a + 2} = 1$$ $$\boxed{x = 1}$$

Sustituimos la segunda columna de $|A|$ por la columna $b$: $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & a & -1 \\ a+1 & a+2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\Delta_y = [1 \cdot a \cdot 1 + a \cdot (-1) \cdot (a+1) + a \cdot a \cdot (a+2)] - [a \cdot a \cdot (a+1) + (-1) \cdot (a+2) \cdot 1 + a \cdot a \cdot 1]$$ $$\Delta_y = [a - a^2 - a + a^3 + 2a^2] - [a^3 + a^2 - a - 2 + a^2]$$ $$\Delta_y = (a^3 + a^2) - (a^3 + 2a^2 - a - 2) = -a^2 + a + 2$$ Calculamos $y$: $$y = \frac{\Delta_y}{|A|} = \frac{-a^2 + a + 2}{-a^2 + a + 2} = 1$$ $$\boxed{y = 1}$$

Sustituimos la tercera columna de $|A|$ por la columna $b$: $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & a \\ a+1 & 0 & a+2 \end{vmatrix}$$ $$\Delta_z = [1 \cdot 1 \cdot (a+2) + (-1) \cdot a \cdot (a+1) + a \cdot a \cdot 0] - [a \cdot 1 \cdot (a+1) + (-1) \cdot a \cdot 1 + (a+2) \cdot (-1) \cdot 0]$$ $$\Delta_z = [a + 2 - a^2 - a + 0] - [a^2 + a - a + 0]$$ $$\Delta_z = (2 - a^2) - (a^2) \text{... Error en cálculo manual previo, reevaluamos por cofactores para seguridad:}$$ Desarrollamos por la segunda fila (o tercera columna) para evitar errores: $$\Delta_z = (a+1) \begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = (a+1)(-a-a) + (1+a) = (a+1)(-2a) + a + 1 = -2a^2 - 2a + a + 1 = -2a^2 - a + 1$$ *Revisión de Sarrus*: $(a+2) - (a^2+a) - [a^2+a - a(a+2)] = a+2-a^2-a - [a^2+a-a^2-2a] = 2-a^2 - (-a) = -a^2+a+2$. Por tanto: $$z = \frac{\Delta_z}{|A|} = \frac{-a^2 + a + 2}{-a^2 + a + 2} = 1$$ $$\boxed{z = 1}$$

Como hemos determinado que $x = 1$, $y = 1$ y $z = 1$, el vector solución $X$ es: $$X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Dado que $X = A^{-1}b$, concluimos que el valor de la matriz pedida es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1}b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$