Resolución de una ecuación matricial

**4.– (2 puntos) Halla la matriz $X$ que satisface $AXA + B = B(2A + I)$** Primero, simplificamos el miembro de la derecha aplicando la propiedad distributiva del producto de matrices respecto a la suma: $$B(2A + I) = B(2A) + BI = 2BA + B$$ Sustituimos esto en la ecuación original: $$AXA + B = 2BA + B$$ Restamos $B$ en ambos lados (o sumamos el opuesto $-B$): $$AXA = 2BA$$ Ahora despejamos $X$. Para ello, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$) y por la derecha también por $A^{-1}$: $$A^{-1} (AXA) A^{-1} = A^{-1} (2BA) A^{-1}$$ $$(A^{-1}A) X (AA^{-1}) = 2 A^{-1} B (AA^{-1})$$ $$I \cdot X \cdot I = 2 A^{-1} B \cdot I$$ $$X = 2 A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices **no es conmutativo**, por lo que es fundamental multiplicar por la inversa en el mismo lado en ambos miembros de la igualdad. $$\boxed{X = 2 A^{-1} B}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero comprobamos que el determinante de $A$ es distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (-1 \cdot 0) = 1 - 0 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos su matriz adjunta traspuesta: 1. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $Adj(A)_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 1 = 1$ - $Adj(A)_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 0 = 0$ - $Adj(A)_{21} = (-1)^{2+1} \cdot (-1) = 1$ - $Adj(A)_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 1 = 1$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de la diagonal secundaria y dividir por el determinante. $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $A^{-1}$ y $B$ en la expresión $X = 2 A^{-1} B$: Primero calculamos el producto $A^{-1} B$: $$A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(-1) & 1(2) + 1(-1) \\ 0(1) + 1(-1) & 0(2) + 1(-1) \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 2 - 1 \\ 0 - 1 & 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por el escalar $2$: $$X = 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}}$$