Existencia de un máximo relativo mediante el estudio de la derivada

Para demostrar la existencia de un máximo relativo en el intervalo $(0, \pi/2)$, debemos estudiar el comportamiento de la primera derivada $f'(x)$ y encontrar si existe algún punto donde esta se anule y cambie de signo de positivo a negativo. La función es $f(x) = (1 - x^2) \tan(x)$. Aplicamos la regla de la derivada de un producto: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(1-x^2) \cdot \tan(x) + (1-x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(x))$$ Recordando que $(\tan(x))' = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$, obtenemos: $$f'(x) = -2x \tan(x) + (1 - x^2) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}$$ 💡 **Tip:** La regla del producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, $u = 1-x^2$ y $v = \tan(x)$. $$\boxed{f'(x) = -2x \tan(x) + \frac{1 - x^2}{\cos^2(x)}}

La función $f'(x)$ es continua en el intervalo $(0, \pi/2)$ porque: 1. El término $-2x \tan(x)$ es continuo en $(0, \pi/2)$ ya que la tangente solo es discontinua en múltiplos impares de $\pi/2$. 2. El término $\frac{1 - x^2}{\cos^2(x)}$ es continuo en $(0, \pi/2)$ porque el denominador $\cos(x)$ no se anula en dicho intervalo. Al ser $f'(x)$ una función continua en el intervalo abierto, podemos analizar sus límites en los extremos para aplicar el **Teorema de Bolzano**.

Calculamos el comportamiento de $f'(x)$ cuando se aproxima a los extremos del intervalo $(0, \pi/2)$: **1. En el extremo inferior ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( -2x \tan(x) + \frac{1 - x^2}{\cos^2(x)} \right)$$ $$= -2(0) \tan(0) + \frac{1 - 0^2}{\cos^2(0)} = 0 + \frac{1}{1} = 1 > 0$$ Esto significa que cerca de $0$, la función es **creciente**. **2. En el extremo superior ($x \to (\pi/2)^-$):** $$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \left( -2x \tan(x) + \frac{1 - x^2}{\cos^2(x)} \right)$$ Simplificamos la expresión para analizar el límite: $$f'(x) = \frac{-2x \sin(x) \cos(x) + (1 - x^2)}{\cos^2(x)}$$ Cuando $x \to \pi/2$: - El numerador tiende a: $-2(\pi/2) \sin(\pi/2) \cos(\pi/2) + (1 - (\pi/2)^2) = 0 + (1 - 2.467) = -1.467 < 0$. - El denominador $\cos^2(x)$ tiende a $0^+$. Por tanto: $$\lim_{x \to (\pi/2)^-} f'(x) = \frac{\text{negativo}}{0^+} = -\infty < 0$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función continua en un intervalo pasa de positivo a negativo, necesariamente debe cruzar por el cero.

Dado que $f'(x)$ es continua en $(0, \pi/2)$ y: - Existe un valor $x_1$ cercano a $0$ tal que $f'(x_1) > 0$. - Existe un valor $x_2$ cercano a $\pi/2$ tal que $f'(x_2) < 0$. Según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c \in (x_1, x_2) \subset (0, \pi/2)$ tal que: $$f'(c) = 0$$ Como la derivada pasa de ser positiva (creciente) a ser negativa (decreciente) al cruzar el punto $c$, por el criterio de la primera derivada, en $x = c$ existe un **máximo relativo**. $$\boxed{\text{Queda demostrado que existe un máximo relativo en } (0, \pi/2)}$$