Optimización del tiempo: El nadador y la playa

Para resolver este problema de optimización, primero definimos la situación geométricamente. Imaginemos que la orilla de la playa es el eje $X$. - El nadador está en un punto $S(0, 2)$, a $2$ km de la orilla. - El puesto de la Cruz Roja está en el punto $P(0, 0)$, el punto de la playa más cercano al nadador. - La caseta de duchas está en el punto $D(3, 0)$, a $3$ km del puesto de la Cruz Roja. - El nadador se dirige a un punto intermedio en la orilla $X(x, 0)$, donde $0 \le x \le 3$. Calculamos las distancias recorridas: 1. **Distancia nadando ($d_n$):** Es la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos $2$ y $x$. $$d_n = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4}$$ 2. **Distancia andando ($d_a$):** Es el trayecto restante por la arena desde $x$ hasta las duchas. $$d_a = 3 - x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización de trayectos, siempre es útil realizar un esquema y definir la variable $x$ como la distancia desde el punto más cercano en la costa hasta el punto de desembarque.

El tiempo total $T$ es la suma del tiempo empleado nadando ($t_n$) y el tiempo empleado andando ($t_a$). Usamos la relación $t = \frac{d}{v}$: - Tiempo nadando: $t_n = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{3}$ - Tiempo andando: $t_a = \frac{3 - x}{5}$ La función a minimizar es el tiempo total en función de $x$: $$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{3} + \frac{3 - x}{5}$$ El dominio de la función para este problema es el intervalo cerrado $x \in [0, 3]$. 💡 **Tip:** Recuerda que el tiempo es igual a la distancia dividida por la velocidad. Asegúrate de que todas las unidades sean coherentes (km y km/h).

Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada $T'(x)$ e igualamos a cero: $$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}(x^2+4)^{1/2} + \frac{3}{5} - \frac{x}{5} \right)$$ $$T'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(x^2+4)^{-1/2} \cdot (2x) - \frac{1}{5}$$ $$T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{5}$$ 💡 **Tip:** Para derivar una raíz, recuerda la regla de la cadena: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Igualamos la primera derivada a cero: $$\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{5}$$ $$5x = 3\sqrt{x^2 + 4}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(5x)^2 = (3\sqrt{x^2 + 4})^2$$ $$25x^2 = 9(x^2 + 4)$$ $$25x^2 = 9x^2 + 36$$ $$16x^2 = 36$$ $$x^2 = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} \implies x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \pm 1,5$$ Como nuestra restricción es $0 \le x \le 3$, descartamos la solución negativa y nos quedamos con **$x = 1,5$ km**.

Para asegurar que $x = 1,5$ es un mínimo, estudiamos el signo de $T'(x)$ o evaluamos la función en los extremos y en el punto crítico. **Evaluación en los puntos clave:** 1. En $x = 0$ (va directo a la Cruz Roja): $T(0) = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{19}{15} \approx 1,267$ h. 2. En $x = 3$ (nada directo a las duchas): $T(3) = \frac{\sqrt{3^2+4}}{3} + 0 = \frac{\sqrt{13}}{3} \approx 1,201$ h. 3. En $x = 1,5$ (punto crítico): $T(1,5) = \frac{\sqrt{1,5^2+4}}{3} + \frac{3-1,5}{5} = \frac{2,5}{3} + \frac{1,5}{5} = \frac{5}{6} + 0,3 = 0,833 + 0,3 = 1,133$ h. El tiempo mínimo se obtiene en $x = 1,5$ km. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0; 1,5) & 1,5 & (1,5; 3)\\ \hline T'(x) & - & 0 & + \\ T(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe dirigirse a nado a un punto situado a 1,5 km del puesto de la Cruz Roja.}}$$