Rectas tangentes a una función con valor absoluto

Para trabajar con la función $f(x) = |x| e^{-x}$, primero debemos eliminar el valor absoluto. Recordamos que $|x| = -x$ si $x < 0$ y $|x| = x$ si $x \ge 0$. Reescribimos la función como una función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} -x e^{-x} & \text{si } x < 0, \\ x e^{-x} & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que aparezca un valor absoluto en una función de este tipo, el primer paso debe ser desglosarla en sus ramas correspondientes para facilitar el cálculo de derivadas.

Para que exista la recta tangente en un punto, la función debe ser derivable en dicho punto. Primero comprobamos la **continuidad** en $x = 0$: 1. $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. 2. $\lim_{x \to 0^-} -x e^{-x} = 0$. 3. $\lim_{x \to 0^+} x e^{-x} = 0$. Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, $f(x)$ es **continua** en $x = 0$. Ahora calculamos la derivada en cada rama para $x \neq 0$ usando la regla del producto: - Si $x < 0$: $f'(x) = (-1)e^{-x} + (-x)(-e^{-x}) = -e^{-x} + xe^{-x} = (x-1)e^{-x}$. - Si $x > 0$: $f'(x) = (1)e^{-x} + (x)(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$. Calculamos las derivadas laterales en $x = 0$ (salto entre ramas): - $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (x-1)e^{-x} = (0-1)e^0 = -1$. - $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (1-x)e^{-x} = (1-0)e^0 = 1$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable** en $x = 0$ (es un punto anguloso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe la recta tangente en } x = 0}$$ 💡 **Tip:** En un punto anguloso, la pendiente de la curva cambia bruscamente, por lo que no hay una única recta tangente.

El punto $x = -1$ pertenece a la rama de los negativos ($x < 0$). **1. Calcular la ordenada del punto:** $$f(-1) = |-1| e^{-(-1)} = 1 \cdot e^1 = e.$$ El punto de tangencia es $P(-1, e)$. **2. Calcular la pendiente de la tangente ($m$):** Usamos la derivada de la primera rama: $f'(x) = (x-1)e^{-x}$. $$m = f'(-1) = (-1 - 1) e^{-(-1)} = -2 e.$$ **3. Escribir la ecuación de la recta:** Usamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. $$y - e = -2e(x - (-1))$$ $$y - e = -2e(x + 1)$$ $$y = -2ex - 2e + e$$ $$y = -2ex - e$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2ex - e}$$