Distribución normal aplicada al tiempo de apnea

**(a) (1 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X$: tiempo (en segundos) que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar. El enunciado nos indica que los datos siguen una **distribución normal**, con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 45$ - Desviación típica: $\sigma = 7,3$ Por tanto, podemos escribir: $$X \sim N(45;\, 7,3)$$ Para calcular cualquier probabilidad, debemos realizar el proceso de **tipificación**, que consiste en transformar nuestra variable $X$ en una variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 45}{7,3}$$ 💡 **Tip:** Tipificar es fundamental para poder utilizar las tablas de la normal estándar que se proporcionan en los exámenes de Bachillerato.

Queremos hallar el porcentaje de adultos que aguantan más de 57 segundos, es decir, $P(X \gt 57)$. Tipificamos el valor 57: $$P(X \gt 57) = P\left(Z \gt \frac{57 - 45}{7,3}\right) = P\left(Z \gt \frac{12}{7,3}\right) \approx P(Z \gt 1,64)$$ Como las tablas de la normal estándar nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $p(Z \le z)$, utilizamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 1,64) = 1 - P(Z \le 1,64)$$ Buscamos el valor $1,64$ en la tabla de la normal $N(0,1)$: - Intersección de la fila $1,6$ y la columna $0,04$: $0,9495$ Sustituimos: $$P(X \gt 57) = 1 - 0,9495 = 0,0505$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,0505 \cdot 100 = 5,05\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{5,05\%}$$

**(b) (1,5 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.** En este apartado nos piden la probabilidad de que el tiempo esté comprendido entre 39 y 57 segundos: $P(39 \le X \le 57)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo: $$P(39 \le X \le 57) = P\left(\frac{39 - 45}{7,3} \le Z \le \frac{57 - 45}{7,3}\right)$$ $$= P\left(\frac{-6}{7,3} \le Z \le \frac{12}{7,3}\right) \approx P(-0,82 \le Z \le 1,64)$$ Para resolver la probabilidad en un intervalo $[a, b]$, aplicamos la fórmula: $$P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$$ En nuestro caso: $$P(-0,82 \le Z \le 1,64) = P(Z \le 1,64) - P(Z \le -0,82)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para valores negativos en la normal, usamos la simetría de la campana de Gauss: $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.

Ya conocemos $P(Z \le 1,64) = 0,9495$ del apartado anterior. Calculamos ahora la parte del valor negativo: $$P(Z \le -0,82) = 1 - P(Z \le 0,82)$$ Buscamos en la tabla el valor de $0,82$ (fila $0,8$, columna $0,02$): $$P(Z \le 0,82) = 0,7939$$ Por lo tanto: $$P(Z \le -0,82) = 1 - 0,7939 = 0,2061$$ Sustituimos ambos valores en la resta del intervalo: $$P(-0,82 \le Z \le 1,64) = 0,9495 - 0,2061 = 0,7434$$ Convertimos la probabilidad a porcentaje: $$0,7434 \cdot 100 = 74,34\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{74,34\%}$$