Probabilidad con transferencia entre urnas

**(a) (0,5 p) Realiza el correspondiente diagrama de árbol.** Para representar el experimento, definimos los sucesos según el color de la bola extraída de cada urna: - $V_A, R_A, A_A$: Extraer bola Verde, Roja o Azul de la urna A. - $V_B, \bar{V}_B$: Extraer bola Verde o No Verde de la urna B. En la urna A hay un total de $3+5+4 = 12$ bolas. En la urna B inicialmente hay $2+2+3 = 7$ bolas, pero tras pasar una de A, habrá un total de **8 bolas**.

**(b) (0,75 p) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso "sacar bola verde de B" ($V_B$) puede ocurrir de tres formas distintas dependiendo de lo que hayamos pasado desde A: $$P(V_B) = P(V_A) \cdot P(V_B | V_A) + P(R_A) \cdot P(V_B | R_A) + P(A_A) \cdot P(V_B | A_A)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama de árbol: - $P(V_A) = \frac{3}{12}$, tras pasarla, la urna B tiene $2+1=3$ verdes de 8 totales $\implies P(V_B | V_A) = \frac{3}{8}$. - $P(R_A) = \frac{5}{12}$, tras pasarla, la urna B tiene 2 verdes de 8 totales $\implies P(V_B | R_A) = \frac{2}{8}$. - $P(A_A) = \frac{4}{12}$, tras pasarla, la urna B tiene 2 verdes de 8 totales $\implies P(V_B | A_A) = \frac{2}{8}$. Operamos: $$P(V_B) = \left(\frac{3}{12} \cdot \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{5}{12} \cdot \frac{2}{8}\right) + \left(\frac{4}{12} \cdot \frac{2}{8}\right)$$ $$P(V_B) = \frac{9}{96} + \frac{10}{96} + \frac{8}{96} = \frac{27}{96}$$ Simplificamos dividiendo entre 3: $$P(V_B) = \frac{9}{32}$$ 💡 **Tip:** El denominador total es $12 \times 8 = 96$ porque primero elegimos entre 12 bolas y luego la urna B pasa a tener 8. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_B) = \frac{9}{32} = 0.28125}$$

**(c) (0,5 p) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja.** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada que ya hemos analizado en el diagrama de árbol: $P(V_B | R_A)$. Si sabemos que la bola extraída de la urna A ha sido roja, al introducirla en la urna B (que tenía 2V, 2R, 3A), la nueva composición de la urna B es: - Verdes: $2$ - Rojas: $2 + 1 = 3$ - Azules: $3$ - **Total:** $8$ bolas. Por tanto, la probabilidad de sacar verde es el número de verdes entre el total: $$P(V_B | R_A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_B | R_A) = \frac{1}{4} = 0.25}$$

**(d) (0.75 p) Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.** Se nos pide la probabilidad $P(R_A | V_B)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R_A | V_B) = \frac{P(R_A) \cdot P(V_B | R_A)}{P(V_B)}$$ Ya tenemos todos los datos necesarios calculados anteriormente: - $P(R_A) = \frac{5}{12}$ - $P(V_B | R_A) = \frac{2}{8}$ - $P(V_B) = \frac{27}{96}$ (del apartado b) Sustituimos en la fórmula: $$P(R_A | V_B) = \frac{\frac{5}{12} \cdot \frac{2}{8}}{\frac{27}{96}} = \frac{\frac{10}{96}}{\frac{27}{96}}$$ Los denominadores se cancelan: $$P(R_A | V_B) = \frac{10}{27}$$ 💡 **Tip:** El teorema de Bayes permite "invertir" la condicional. Es fundamental para calcular causas a partir de efectos observados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_A | V_B) = \frac{10}{27} \approx 0.3704}$$