Área limitada por dos parábolas y una recta

**(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.** Para dibujar el recinto, primero identificamos las funciones y calculamos sus puntos de corte en el primer cuadrante ($x \ge 0$): 1. **Intersección entre $y = x^2$ e $y = x$:** $$x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$$ Obtenemos $x = 0$ y $x = 1$. Los puntos son $(0, 0)$ y $(1, 1)$. 2. **Intersección entre $y = \frac{x^2}{3}$ e $y = x$:** $$\frac{x^2}{3} = x \implies x^2 = 3x \implies x(x - 3) = 0$$ Obtenemos $x = 0$ y $x = 3$. Los puntos son $(0, 0)$ y $(3, 3)$. 3. **Intersección entre $y = x^2$ e $y = \frac{x^2}{3}$:** $$x^2 = \frac{x^2}{3} \implies \frac{2x^2}{3} = 0 \implies x = 0$$ Solo se cortan en el origen $(0, 0)$. 💡 **Tip:** Conocer los puntos de corte es fundamental para establecer los límites de integración y entender qué función queda por encima de la otra en cada intervalo.

Con los puntos de corte y sabiendo que son parábolas y una recta, el recinto en el primer cuadrante queda delimitado de la siguiente forma: - Desde $x = 0$ hasta $x = 1$, la región está limitada superiormente por $y = x^2$ e inferiormente por $y = \frac{x^2}{3}$. - Desde $x = 1$ hasta $x = 3$, la región está limitada superiormente por la recta $y = x$ e inferiormente por $y = \frac{x^2}{3}$. Esto se debe a que en $x=1$, la recta $y=x$ "toma el relevo" de la parábola $y=x^2$ como techo del recinto. Aquí tienes la representación gráfica del recinto:

**(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.** Debido a que la función superior cambia en $x=1$, debemos dividir el cálculo del área en dos integrales definidas: $$A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{x^2}{3} \right) dx + \int_{1}^{3} \left( x - \frac{x^2}{3} \right) dx$$ Simplificamos la primera expresión: $$A_1 = \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{3} dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ es $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Siempre restamos la función inferior a la función superior.

Calculamos $A_1$ aplicando la regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{3} dx = \left[ \frac{2x^3}{9} \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites: $$A_1 = \left( \frac{2(1)^3}{9} \right) - \left( \frac{2(0)^3}{9} \right) = \frac{2}{9} - 0 = \frac{2}{9} \text{ u}^2$$

Calculamos $A_2$ para el intervalo $[1, 3]$: $$A_2 = \int_{1}^{3} \left( x - \frac{x^2}{3} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{3}$$ Aplicamos la regla de Barrow paso a paso: 1. Sustituimos el límite superior ($x=3$): $$\left( \frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{9} \right) = \left( \frac{9}{2} - \frac{27}{9} \right) = 4,5 - 3 = 1,5$$ 2. Sustituimos el límite inferior ($x=1$): $$\left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{9} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{9} \right) = \frac{9 - 2}{18} = \frac{7}{18}$$ 3. Restamos los resultados: $$A_2 = \frac{3}{2} - \frac{7}{18} = \frac{27}{18} - \frac{7}{18} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9} \text{ u}^2$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = \frac{2}{9} + \frac{10}{9} = \frac{12}{9}$$ Simplificando la fracción entre 3: $$A = \frac{4}{3} \approx 1,333 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$