Cálculo de integrales indefinidas racionales

**(a) (1,25 p) $\int \frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1} dx$** Observamos que el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($2$). Por tanto, lo primero que debemos hacer es realizar la **división polinómica** para descomponer la fracción. Dividimos $x^3 - 3x + 2$ entre $x^2 + 2x + 1$: 1. Dividimos el término de mayor grado: $x^3 / x^2 = x$. 2. Multiplicamos $x$ por el divisor y restamos: $(x^3 - 3x + 2) - (x^3 + 2x^2 + x) = -2x^2 - 4x + 2$. 3. Dividimos el nuevo término de mayor grado: $-2x^2 / x^2 = -2$. 4. Multiplicamos $-2$ por el divisor y restamos: $(-2x^2 - 4x + 2) - (-2x^2 - 4x - 2) = 4$. Obtenemos: - Cociente: $C(x) = x - 2$ - Resto: $R(x) = 4$ La integral se transforma en: $$\int \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 + 2x + 1} dx = \int (x - 2) dx + \int \frac{4}{x^2 + 2x + 1} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para cualquier fracción racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$, si el grado de $P \ge$ grado de $Q$, puedes escribirla como $C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Ahora resolvemos por separado las dos partes obtenidas. Para la parte polinómica: $$\int (x - 2) dx = \frac{x^2}{2} - 2x$$ Para la parte racional, observamos que el denominador es una identidad notable: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Por tanto: $$\int \frac{4}{(x+1)^2} dx = 4 \int (x + 1)^{-2} dx$$ Aplicamos la regla de la potencia para funciones lineales $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$: $$4 \cdot \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{4}{x+1}$$ Combinamos todos los términos y añadimos la constante de integración $C$: ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{\frac{x^2}{2} - 2x - \frac{4}{x + 1} + C}$$

**(b) (1,25 p) $\int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1} dx$** En este caso, el grado del numerador es menor que el del denominador. Procedemos a descomponer en **fracciones simples**. Como vimos antes, el denominador tiene una raíz real doble: $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$ Planteamos la descomposición para una raíz real doble: $$\frac{-3x + 2}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $(x+1)^2$ para hallar los coeficientes: $$-3x + 2 = A(x + 1) + B$$ - Si $x = -1$: $-3(-1) + 2 = B \implies 3 + 2 = B \implies \mathbf{B = 5}$. - Si $x = 0$: $2 = A(1) + B \implies 2 = A + 5 \implies \mathbf{A = -3}$. 💡 **Tip:** Al descomponer raíces múltiples, debes incluir una fracción por cada potencia de la raíz (desde 1 hasta el grado de multiplicidad).

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral: $$\int \frac{2 - 3x}{(x^2 + 2x + 1)} dx = \int \left( \frac{-3}{x+1} + \frac{5}{(x+1)^2} \right) dx$$ Resolvemos término a término: 1. $\int \frac{-3}{x+1} dx = -3 \ln|x+1|$ 2. $\int \frac{5}{(x+1)^2} dx = 5 \int (x+1)^{-2} dx = 5 \left( \frac{(x+1)^{-1}}{-1} \right) = -\frac{5}{x+1}$ Sumamos los resultados y la constante $C$: ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{-3 \ln|x+1| - \frac{5}{x+1} + C}$$