Cálculo de parámetros y extremos relativos

**(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A, B$ y $C$.** Para resolver este apartado, primero necesitamos calcular la derivada de la función $f(x) = Ax^4 + Bx^2 + C$: $$f'(x) = 4Ax^3 + 2Bx$$ De los datos del enunciado extraemos tres condiciones: 1. **Extremo relativo en $x = 1/2$**: En un extremo relativo, la derivada es cero. $$f'(1/2) = 0 \implies 4A\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2B\left(\frac{1}{2}\right) = 0$$ $$4A\left(\frac{1}{8}\right) + B = 0 \implies \frac{A}{2} + B = 0 \implies A + 2B = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 2. **Recta tangente en $x = 1$ es $y = 6x - 2$**: La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. La pendiente de $y = 6x - 2$ es $m = 6$. $$f'(1) = 6 \implies 4A(1)^3 + 2B(1) = 6 \implies 4A + 2B = 6 \implies 2A + B = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 3. **Punto de tangencia**: La función y la recta tangente comparten el mismo valor de $y$ en el punto de abscisa $x = 1$. En la recta: $y = 6(1) - 2 = 4$. Por tanto, el punto es $(1, 4)$ y se cumple $f(1) = 4$. $$f(1) = 4 \implies A(1)^4 + B(1)^2 + C = 4 \implies A + B + C = 4 \quad \text{(Ecuación 3)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta tangente a una función $f$ en $x=a$ tiene como pendiente $f'(a)$ y pasa por el punto $(a, f(a))$.

Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para hallar $A$ y $B$: $$\begin{cases} A + 2B = 0 \implies A = -2B \\ 2A + B = 3 \end{cases}$$ Sustituimos $A = -2B$ en la segunda ecuación: $$2(-2B) + B = 3 \implies -4B + B = 3 \implies -3B = 3 \implies \mathbf{B = -1}$$ Calculamos $A$: $$A = -2(-1) \implies \mathbf{A = 2}$$ Ahora, usamos la Ecuación 3 para hallar $C$: $$A + B + C = 4 \implies 2 + (-1) + C = 4 \implies 1 + C = 4 \implies \mathbf{C = 3}$$ ✅ **Resultado del apartado (a):** $$\boxed{A = 2, B = -1, C = 3}$$

**(b) (1 p) Encuentra todos los extremos relativos de la función $f$ y razona si son máximos o mínimos.** Con los valores obtenidos, la función es: $$f(x) = 2x^4 - x^2 + 3$$ Su derivada es: $$f'(x) = 8x^3 - 2x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$8x^3 - 2x = 0 \implies 2x(4x^2 - 1) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $4x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1/4 \implies x_2 = 1/2, \, x_3 = -1/2$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden ocurrir en puntos donde la derivada es cero (puntos críticos) si la función es derivable en todo su dominio.

Estudiamos el signo de $f'(x) = 2x(2x-1)(2x+1)$ en los intervalos definidos por las raíces para determinar la monotonía y la naturaleza de los extremos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 0) & 0 & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Min} & \nearrow & \text{Max} & \searrow & \text{Min} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x = 0$: $f(0) = 2(0)^4 - (0)^2 + 3 = 3$. Hay un **máximo relativo** en $(0, 3)$. - Para $x = 1/2$: $f(1/2) = 2(1/16) - 1/4 + 3 = 1/8 - 2/8 + 24/8 = 23/8$. Hay un **mínimo relativo** en $(1/2, 23/8)$. - Para $x = -1/2$: $f(-1/2) = 2(-1/2)^4 - (-1/2)^2 + 3 = 23/8$. Hay un **mínimo relativo** en $(-1/2, 23/8)$. 💡 **Tip:** Un punto $x=a$ es un mínimo relativo si la función pasa de decrecer ($f' \lt 0$) a crecer ($f' \gt 0$), y un máximo relativo si pasa de crecer a decrecer. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimos relativos en } (-1/2, 23/8) \text{ y } (1/2, 23/8); \text{ Máximo relativo en } (0, 3)}$$