Estudio completo y representación de una función racional

**(a) (0,5 p) Encuentra las asíntotas de $f$.** Primero, observamos que el denominador se puede simplificar como un binomio al cuadrado: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Así, la función es $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2}$. El dominio de $f(x)$ son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$(x-1)^2 = 0 \implies x = 1.$$ $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Para encontrar las **asíntotas verticales**, calculamos el límite en el punto de discontinuidad: $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{(x-1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 1$. 💡 **Tip:** Si el denominador es una potencia par, como $(x-1)^2$, el límite será siempre $+\infty$ o $-\infty$ por ambos lados, lo que indica que la función no cambia de signo al cruzar la asíntota. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1 \text{ es una asíntota vertical (AV)}}$$

Para encontrar las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 2x + 1} = 0.$$ Como el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es 0. Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y = 0$ (el eje $X$). Dado que existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0 \text{ es una asíntota horizontal (AH)}}$$

**(b) (1 p) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1) \cdot (x-1)^2 - x \cdot 2(x-1) \cdot 1}{((x-1)^2)^2}$$ Simplificamos factorizando $(x-1)$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{(x-1) [ (x-1) - 2x ]}{(x-1)^4} = \frac{(x-1) (-x-1)}{(x-1)^4} = \frac{-x-1}{(x-1)^3}$$ 💡 **Tip:** Simplificar el factor común $(x-a)$ en funciones racionales con denominadores potencias suele ahorrar mucho trabajo algebraico. $$\boxed{f'(x) = \frac{-x-1}{(x-1)^3}}$$

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, igualamos la derivada a cero y consideramos los puntos donde no existe la función ($x=1$): $$f'(x) = 0 \implies -x - 1 = 0 \implies x = -1.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por $x = -1$ y $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & - \end{array}$$ Justificación del signo: - En $(-\infty, -1)$: $f'(-2) = \frac{-(-2)-1}{(-2-1)^3} = \frac{1}{-27} \lt 0$ (**Decrece**). - En $(-1, 1)$: $f'(0) = \frac{-0-1}{(0-1)^3} = \frac{-1}{-1} = 1 \gt 0$ (**Crece**). - En $(1, +\infty)$: $f'(2) = \frac{-2-1}{(2-1)^3} = \frac{-3}{1} = -3 \lt 0$ (**Decrece**). En $x = -1$ hay un **mínimo relativo** ya que la función pasa de decrecer a crecer. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente en: } & (-1, 1) \\ \text{Decreciente en: } & (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \end{aligned}}$$

**(c) (0,5 p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. Calculamos la ordenada en $x = 0$: $$f(0) = \frac{0}{(0-1)^2} = 0.$$ El punto de tangencia es **$(0, 0)$**. 2. Calculamos la pendiente (valor de la derivada en $x = 0$): $$m = f'(0) = \frac{-0-1}{(0-1)^3} = \frac{-1}{-1} = 1.$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x.$$ 💡 **Tip:** La recta tangente $y=x$ indica que, cerca del origen, la función se comporta casi como la identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x}$$

**(d) (0,5 p) Haz una representación aproximada de la gráfica de la función $f$.** Para la gráfica tenemos en cuenta: - Asíntotas: $x=1$ (vertical) y $y=0$ (horizontal). - Puntos clave: Pasa por $(0,0)$ y tiene un mínimo en $x=-1$. - Valor del mínimo: $f(-1) = \frac{-1}{(-1-1)^2} = -1/4$. Punto **$(-1, -0.25)$**. - Comportamiento: Viene de $y=0$, baja al mínimo, sube pasando por el origen hacia $+\infty$ en la asíntota $x=1$. A la derecha de $x=1$, viene de $+\infty$ y baja hacia $y=0$.