Plano por tres puntos y punto simétrico

**(a) (1 p) la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $P_2, P_3$ y $P_4$:** Para determinar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $P_2(1, 2, -1)$ y los vectores formados por los puntos dados: $$\vec{u} = \vec{P_2P_3} = P_3 - P_2 = (0-1, -2-2, 3-(-1)) = (-1, -4, 4)$$ $$\vec{v} = \vec{P_2P_4} = P_4 - P_2 = (-2-1, 0-2, 1-(-1)) = (-3, -2, 2)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por tres puntos no alineados. Verificamos que los vectores no son proporcionales: $\frac{-1}{-3} \neq \frac{-4}{-2}$, por lo que definen el plano.

El vector normal $\vec{n}$ al plano $\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ -3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i} (-8 - (-8)) - \mathbf{j} (-2 - (-12)) + \mathbf{k} (2 - 12)$$ $$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 10\mathbf{j} - 10\mathbf{k} = (0, -10, -10)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-10$ para trabajar con valores más cómodos: $$\vec{n}_{\pi} = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector normal también es normal al plano.

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (0, 1, 1)$ y el punto $P_2(1, 2, -1)$, la ecuación del plano $\pi$ tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P_2(1, 2, -1)$ para hallar $D$: $$2 + (-1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es: $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$

**(b) (1,5 p) el punto simétrico de $P_1$ respecto del plano $\pi$.** Para hallar el simétrico de $P_1(1, 4, 5)$ respecto a $\pi$, primero calculamos la recta $r$ que pasa por $P_1$ y es perpendicular al plano. El vector director de la recta será el vector normal del plano, $\vec{d_r} = \vec{n}_{\pi} = (0, 1, 1)$. Ecuación paramétrica de $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + \lambda \\ z = 5 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P_1'$ se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por $P_1$, a la misma distancia del plano que $P_1$ pero en el lado opuesto.

Calculamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto es la proyección ortogonal de $P_1$ sobre el plano y será el punto medio entre $P_1$ y su simétrico $P_1'$. Sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano $y + z - 1 = 0$: $$(4 + \lambda) + (5 + \lambda) - 1 = 0$$ $$2\lambda + 8 = 0 \implies 2\lambda = -8 \implies \lambda = -4$$ Sustituimos $\lambda = -4$ en las ecuaciones de la recta para obtener $M$: $$x_M = 1$$ $$y_M = 4 + (-4) = 0$$ $$z_M = 5 + (-4) = 1$$ El punto de intersección es $M(1, 0, 1)$.

Como $M(1, 0, 1)$ es el punto medio del segmento $P_1P_1'$, donde $P_1(1, 4, 5)$ y $P_1'(x', y', z')$, aplicamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P_1 + P_1'}{2} \implies (1, 0, 1) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{4 + y'}{2}, \frac{5 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $1 = \frac{1 + x'}{2} \implies 2 = 1 + x' \implies x' = 1$ 2. $0 = \frac{4 + y'}{2} \implies 0 = 4 + y' \implies y' = -4$ 3. $1 = \frac{5 + z'}{2} \implies 2 = 5 + z' \implies z' = -3$ El punto simétrico buscado es $P_1'(1, -4, -3)$. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P_1'(1, -4, -3)}$$