Posición relativa, plano y perpendicularidad en el espacio

**(a) (1 p) Calcula la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** En primer lugar, obtenemos un punto y un vector director de cada recta para poder compararlas. Para la recta $r$, dada en paramétricas: - Punto $A_r = (0, -1, 2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (2, 4, -1)$ Para la recta $s$, dada como intersección de dos planos, la pasamos a paramétricas haciendo $x = \mu$: $$2\mu - y = 1 \implies y = 2\mu - 1$$ $$z = 3$$ Así, la recta $s$ es: $s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 + 2\mu \\ z = 3 \end{cases}$ - Punto $A_s = (0, -1, 3)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 2, 0)$ 💡 **Tip:** Para trabajar con rectas, siempre es útil tener su vector director y un punto de paso. Si la recta está en implícitas, puedes obtener el vector mediante el producto vectorial de los normales de los planos o pasando a paramétricas.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (2, 4, -1)$ y $\vec{v}_s = (1, 2, 0)$. Observamos que no son proporcionales: $$\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{-1}{0}$$ Por tanto, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Pueden cortarse o cruzarse. Para decidirlo, calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{A_r A_s} = (0 - 0, -1 - (-1), 3 - 2) = (0, 0, 1)$$ Analizamos la dependencia lineal de $\{\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{A_r A_s}\}$ mediante el determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{A_r A_s}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna: $$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2\cdot 2 - 4\cdot 1) = 4 - 4 = 0$$ Como el determinante es $0$, los tres vectores son coplanarios. Al no ser paralelos, las rectas se cortan en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son secantes (se cortan en un punto)}}$$

**(b) (0,75 p) Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.** Como las rectas son secantes, definen un único plano $\pi$. El vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ será perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(4 \cdot 0) + \mathbf{j}(-1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 2) - [\mathbf{k}(4 \cdot 1) + \mathbf{i}(-1 \cdot 2) + \mathbf{j}(2 \cdot 0)]$$ $$\vec{n}_\pi = (0)\mathbf{i} - (1)\mathbf{j} + (4)\mathbf{k} - [4\mathbf{k} - 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j}] = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (2, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos, ideal para encontrar el vector normal de un plano.

La ecuación del plano tiene la forma $2x - y + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos un punto contenido en el plano, por ejemplo $A_r(0, -1, 2)$: $$2(0) - (-1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación del plano es $2x - y - 1 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 2x - y - 1 = 0}$$

**(c) (0,75 p) Dado el punto $P(-8, -8, 0)$, calcula el punto $Q$ de la recta $r$ de modo que el vector $\vec{PQ}$ sea perpendicular a la recta $r$.** Como $Q$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben cumplir sus ecuaciones paramétricas para algún valor de $\lambda$: $$Q(2\lambda, -1 + 4\lambda, 2 - \lambda)$$ Construimos el vector $\vec{PQ}$ restando las coordenadas de $P(-8, -8, 0)$ a las de $Q$: $$\vec{PQ} = (2\lambda - (-8), -1 + 4\lambda - (-8), 2 - \lambda - 0)$$ $$\vec{PQ} = (2\lambda + 8, 4\lambda + 7, 2 - \lambda)$$ 💡 **Tip:** Expresar un punto genérico de una recta en función de su parámetro es la forma más eficiente de resolver problemas de distancias o perpendicularidad sobre la recta.

Para que el vector $\vec{PQ}$ sea perpendicular a la recta $r$, su producto escalar con el vector director $\vec{v}_r = (2, 4, -1)$ debe ser cero: $$\vec{PQ} \cdot \vec{v}_r = 0$$ $$(2\lambda + 8, 4\lambda + 7, 2 - \lambda) \cdot (2, 4, -1) = 0$$ Operamos: $$2(2\lambda + 8) + 4(4\lambda + 7) - 1(2 - \lambda) = 0$$ $$4\lambda + 16 + 16\lambda + 28 - 2 + \lambda = 0$$ Agrupamos términos en $\lambda$ y constantes: $$(4 + 16 + 1)\lambda + (16 + 28 - 2) = 0$$ $$21\lambda + 42 = 0$$ $$21\lambda = -42 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos el valor de $\lambda = -2$ en las coordenadas de $Q$: $$x = 2(-2) = -4$$ $$y = -1 + 4(-2) = -9$$ $$z = 2 - (-2) = 4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(-4, -9, 4)}$$