Cálculo de determinantes mediante propiedades

**(a) (1,5 p) $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix}$.** En primer lugar, observamos que todos los elementos de la primera fila ($F_1$) son múltiplos de $3$. Aplicamos la propiedad: *Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número*. Extraemos el factor $3$ fuera del determinante: $$\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad nos permite simplificar las filas antes de operar con ellas.

Para simplificar la segunda ($F_2$) y tercera fila ($F_3$), aplicamos la propiedad: *El valor de un determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de las demás*. Realizamos las siguientes operaciones: 1. A la segunda fila le restamos la primera: $F_2 \to F_2 - F_1$. 2. A la tercera fila le sumamos la primera: $F_3 \to F_3 + F_1$. $$3 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ (a-p) - a & (b-q) - b & (c-r) - c \\ (2x-a) + a & (2y-b) + b & (2z-c) + c \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -p & -q & -r \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Buscamos siempre eliminar los términos que nos impiden llegar a la forma del determinante original dado en el enunciado.

Ahora, extraemos los factores comunes de la segunda y tercera fila: - Extraemos $-1$ de $F_2$. - Extraemos $2$ de $F_3$. $$3 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ -p & -q & -r \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ Sustituimos el valor del determinante conocido, que es $2$: $$3 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (2) = -6 \cdot 2 = -12$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{-12}$$

**(b) (1 p) $\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}$.** Para resolver este apartado, primero aplicamos la propiedad: *El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta* ($|A| = |A^t|$): $$\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ 2p & 2q & 2r \end{vmatrix}$$ A continuación, extraemos el factor común $2$ de la tercera fila ($F_3$): $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ 2p & 2q & 2r \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Transponer es muy útil cuando las letras que deberían formar una fila aparecen en una columna.

Para obtener el determinante original, debemos intercambiar la segunda fila ($F_2$) con la tercera fila ($F_3$). Aplicamos la propiedad: *Si se intercambian dos filas o columnas de un determinante, este cambia de signo*. $$2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix}$$ Sustituimos el valor del determinante dado ($2$): $$-2 \cdot (2) = -4$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{-4}$$