Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(2 p) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha - 1 \\ 2 & 1 & \alpha - 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & \alpha - 1 & -1 \\ 2 & 1 & \alpha - 2 & 1 \end{array}\right)$$ El objetivo es comparar los rangos de $A$ y $A^*$ utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha - 1 \\ 2 & 1 & \alpha - 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [\alpha \cdot 2 \cdot (\alpha - 2) + 1 \cdot (\alpha - 1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot 2 \cdot 2 + (\alpha - 1) \cdot 1 \cdot \alpha + (\alpha - 2) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [2\alpha^2 - 4\alpha + 2\alpha - 2 + 1] - [4 + \alpha^2 - \alpha + \alpha - 2]$$ $$|A| = (2\alpha^2 - 2\alpha - 1) - (\alpha^2 + 2) = \alpha^2 - 2\alpha - 3$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$\alpha^2 - 2\alpha - 3 = 0 \implies \alpha = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los valores: **$\alpha = 3$** y **$\alpha = -1$**.

Si **$\alpha \neq 3$** y **$\alpha \neq -1$**: Como el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$): - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$, el sistema es: $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)}}$$

Si **$\alpha = 3$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el determinante de una submatriz de orden 3 de $A^*$ que contenga a la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (6 - 2 + 2) - (8 - 3 + 1) = 6 - 6 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos (las columnas 2 y 3 son idénticas en este caso), $\text{rang}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): $$\boxed{\alpha = 3: \text{Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}}$$

Si **$\alpha = -1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ con el menor de orden 3 que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 2 + 2) - (8 + 1 + 1) = -2 - 10 = -12 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rang}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$: $$\boxed{\alpha = -1: \text{Sistema Incompatible (No tiene solución)}}$$

**(0,5 p) Resuelve el sistema, si es posible, en el caso $\alpha = 1$.** Como $\alpha = 1$ no es $-1$ ni $3$, es un **Sistema Compatible Determinado**. Sustituimos $\alpha = 1$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \quad (E_1) \\ x + 2y + 0z = -1 \quad (E_2) \\ 2x + y - z = 1 \quad (E_3) \end{cases}$$ Sumamos $(E_1)$ y $(E_3)$ para eliminar la $z$: $$(x + y + z) + (2x + y - z) = 2 + 1 \implies 3x + 2y = 3 \quad (E_4)$$ Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones con $(E_2)$ y $(E_4)$: $$\begin{cases} x + 2y = -1 \implies x = -1 - 2y \\ 3x + 2y = 3 \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la segunda: $$3(-1 - 2y) + 2y = 3 \implies -3 - 6y + 2y = 3 \implies -4y = 6 \implies y = -\frac{3}{2}$$ Calculamos $x$: $$x = -1 - 2\left(-\frac{3}{2}\right) = -1 + 3 = 2$$ Calculamos $z$ desde $(E_1)$: $$2 + \left(-\frac{3}{2}\right) + z = 2 \implies -\frac{3}{2} + z = 0 \implies z = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 2, \quad y = -\frac{3}{2}, \quad z = \frac{3}{2}}$$