Probabilidad de sucesos independientes

**(a) (0,5 p) $P(A \cup B)$** Primero, identificamos que $A$ y $B$ son **sucesos independientes**. Esto implica que la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,1 = 0,07.$$ Además, calculamos las probabilidades de los sucesos complementarios: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3,$$ $$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,1 = 0,9.$$ Podemos organizar la información en una tabla de contingencia para facilitar los cálculos de los siguientes apartados: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,07 & 0,63 & 0,7 \\ \bar{A} & 0,03 & 0,27 & 0,3 \\ \hline \text{Total} & 0,1 & 0,9 & 1,0 \end{array}$$ Para resolver el apartado (a), aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0,7 + 0,1 - 0,07 = 0,73.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son independientes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Esto no debe confundirse con sucesos incompatibles (donde la intersección es 0). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,73}$$

**(b) (0,5 p) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$** Aplicamos la **Primera Ley de De Morgan**, que establece que la unión de los complementarios es el complementario de la intersección: $$\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}.$$ Por lo tanto: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B).$$ Como ya calculamos que $P(A \cap B) = 0,07$: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - 0,07 = 0,93.$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$ y $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,93}$$

**(c) (0,5 p) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$** Aplicamos la **Segunda Ley de De Morgan**, que establece que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}.$$ Usando el resultado obtenido en el apartado (a), donde $P(A \cup B) = 0,73$: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,73 = 0,27.$$ Alternativamente, como $A$ y $B$ son independientes, sus complementarios $\bar{A}$ y $\bar{B}$ también lo son: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,9 = 0,27.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,27}$$

**(d) (0,5 p) $P(A \cap \bar{B})$** Esta probabilidad representa la probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$. Podemos calcularla de dos formas: 1. **Por la diferencia de sucesos:** $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,7 - 0,07 = 0,63.$$ 2. **Por independencia:** Dado que $A$ y $B$ son independientes, $A$ y $\bar{B}$ también lo son: $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,7 \cdot 0,9 = 0,63.$$ Ambos métodos confirman el resultado obtenido previamente en nuestra tabla de contingencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \bar{B}) = 0,63}$$

**(e) (0,5 p) $P(\bar{A} | \bar{B})$** Aplicamos la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}.$$ Utilizamos los valores hallados anteriormente: - $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,27$ - $P(\bar{B}) = 0,9$ Sustituimos: $$P(\bar{A} | \bar{B}) = \frac{0,27}{0,9} = 0,3.$$ 💡 **Tip:** Dado que $\bar{A}$ y $\bar{B}$ son independientes, se debe cumplir que $P(\bar{A} | \bar{B}) = P(\bar{A})$. Como $P(\bar{A}) = 0,3$, el resultado es coherente con la teoría de independencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} | \bar{B}) = 0,3}$$