Distribución Binomial y Aproximación a la Normal

**(a) (0,5 p) Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de adultos que quedan protegidos contra la tuberculosis pulmonar activa tras la vacuna. Estamos ante un experimento con las siguientes características: 1. Se realizan $n = 3289$ experimentos independientes (aplicación de la vacuna a cada adulto). 2. En cada experimento solo hay dos resultados posibles: quedar protegido (éxito) o no quedar protegido (fracaso). 3. La probabilidad de éxito es constante para todos los individuos: $p = 0,54$. Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**. Los parámetros son: - Número de ensayos: $n = 3289$ - Probabilidad de éxito: $p = 0,54$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ modela el número de éxitos en $n$ ensayos independientes donde la probabilidad de éxito en cada ensayo es $p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \sim B(3289, \, 0,54)}$$

Dado que el número de adultos $n$ es muy elevado, el cálculo directo de probabilidades binomiales es inviable. Comprobamos si podemos aproximar la distribución a una Normal mediante el teorema de De Moivre-Laplace. Calculamos la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$): - $\mu = n \cdot p = 3289 \cdot 0,54 = 1776,06$ - $q = 1 - p = 1 - 0,54 = 0,46$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{3289 \cdot 0,54 \cdot 0,46} = \sqrt{816,9876} \approx 28,58$ Comprobamos las condiciones de aproximación: - $n \cdot p = 1776,06 \gt 5$ - $n \cdot q = 3289 \cdot 0,46 = 1512,94 \gt 5$ Como se cumplen, podemos aproximar la binomial por una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: $$\boxed{X' \sim N(1776,06; \, 28,58)}$$

**(b) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1800 adultos.** Queremos calcular $P(X = 1800)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección por continuidad de Yates**, calculando el intervalo de unidad alrededor del valor: $$P(X = 1800) \approx P(1799,5 \le X' \le 1800,5)$$ Tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{X' - \mu}{\sigma}$: $$Z_1 = \frac{1799,5 - 1776,06}{28,58} \approx 0,82$$ $$Z_2 = \frac{1800,5 - 1776,06}{28,58} \approx 0,86$$ Ahora calculamos la probabilidad en la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(0,82 \le Z \le 0,86) = P(Z \le 0,86) - P(Z \le 0,82)$$ Consultando la tabla de la normal: $$P(0,82 \le Z \le 0,86) = 0,8051 - 0,7939 = 0,0112$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad permite asignar un área a un punto aislado al aproximar una variable discreta por una continua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=1800) \approx 0,0112}$$

**(c) (1 p) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1700 adultos.** Buscamos $P(X \lt 1700)$. Al ser una variable discreta, esto equivale a $P(X \le 1699)$. Aplicamos la corrección por continuidad: $$P(X \lt 1700) = P(X \le 1699) \approx P(X' \le 1699,5)$$ Tipificamos el valor: $$Z = \frac{1699,5 - 1776,06}{28,58} = \frac{-76,56}{28,58} \approx -2,68$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \le -2,68) = P(Z \ge 2,68) = 1 - P(Z \le 2,68)$$ Consultando la tabla: $$1 - 0,9963 = 0,0037$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -a) = P(Z \ge a) = 1 - P(Z \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 1700) \approx 0,0037}$$