Área de un recinto en el primer cuadrante

**(a) (1,25 p) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas.** Primero identificamos las funciones que delimitan el recinto: 1. $f(x) = \frac{x^2}{3}$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ que abre hacia arriba. 2. $g(x) = x^2 + 2x$ es una parábola con raíces en $x=0$ y $x=-2$, y vértice en $(-1,-1)$. 3. $h(x) = 3$ es una recta horizontal. Calculamos los puntos de intersección en el **primer cuadrante** ($x \ge 0$): - **Corte entre $f(x)$ y $g(x)$:** $$\frac{x^2}{3} = x^2 + 2x \implies x^2 = 3x^2 + 6x \implies 2x^2 + 6x = 0 \implies 2x(x+3) = 0$$ Obtenemos $x=0$ y $x=-3$. En el primer cuadrante, nos interesa **$x=0$** (punto $(0,0)$). - **Corte entre $g(x)$ y $h(x)$:** $$x^2 + 2x = 3 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -3$$ En el primer cuadrante, el punto es **$x=1$** (punto $(1,3)$). - **Corte entre $f(x)$ y $h(x)$:** $$\frac{x^2}{3} = 3 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ En el primer cuadrante, el punto es **$x=3$** (punto $(3,3)$).

Con los puntos de corte y la forma de las curvas, delimitamos el recinto en el primer cuadrante: - El límite izquierdo es la curva $y = x^2 + 2x$ desde $x=0$ hasta $x=1$. - El límite superior es la recta $y = 3$ desde $x=1$ hasta $x=3$. - El límite inferior es la curva $y = \frac{x^2}{3}$ desde $x=0$ hasta $x=3$. 💡 **Tip:** Al dibujar, fíjate que para $x \in [0,1]$, la curva $x^2+2x$ está por encima de $x^2/3$. A partir de $x=1$, el techo pasa a ser la recta $y=3$.

**(b) (1,25 p) Calcula el área de ese recinto.** Para calcular el área total $A$, debemos dividir el recinto en dos intervalos de integración según la función que actúa como "techo": 1. **Intervalo $[0, 1]$:** El techo es $g(x) = x^2+2x$ y el suelo es $f(x) = \frac{x^2}{3}$. $$A_1 = \int_{0}^{1} \left( (x^2 + 2x) - \frac{x^2}{3} \right) dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{2x^2}{3} + 2x \right) dx$$ 2. **Intervalo $[1, 3]$:** El techo es $h(x) = 3$ y el suelo es $f(x) = \frac{x^2}{3}$. $$A_2 = \int_{1}^{3} \left( 3 - \frac{x^2}{3} \right) dx$$ El área total será $A = A_1 + A_2$. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ se calcula como $\int_a^b (\text{superior} - \text{inferior}) dx$.

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} \left( \frac{2x^2}{3} + 2x \right) dx = \left[ \frac{2x^3}{9} + x^2 \right]_{0}^{1}$$ Sustituimos los límites: $$A_1 = \left( \frac{2(1)^3}{9} + (1)^2 \right) - \left( 0 \right) = \frac{2}{9} + 1 = \frac{11}{9} \text{ u}^2$$

Calculamos $A_2$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_2 = \int_{1}^{3} \left( 3 - \frac{x^2}{3} \right) dx = \left[ 3x - \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{3}$$ Sustituimos los límites: $$A_2 = \left( 3(3) - \frac{3^3}{9} \right) - \left( 3(1) - \frac{1^3}{9} \right) = (9 - 3) - \left( 3 - \frac{1}{9} \right)$$ $$A_2 = 6 - \frac{26}{9} = \frac{54 - 26}{9} = \frac{28}{9} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas: $$A = A_1 + A_2 = \frac{11}{9} + \frac{28}{9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{13}{3} \approx 4,33 \text{ u}^2}$$