Integral por partes de una función logarítmica al cuadrado

Para resolver la integral $\int x \ln^2 x dx$, utilizaremos el **método de integración por partes**. Este método se basa en la fórmula derivada de la regla del producto para derivadas y es especialmente útil cuando el integrando es un producto de funciones de distinta naturaleza (en este caso, una función polinómica $x$ y una función logarítmica $(\ln x)^2$). 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: **A**rcos, **L**ogaritmos, **P**olinomios, **E**xponenciales, **S**enos/Cosenos. Siguiendo este orden, la función que aparezca antes en la palabra será nuestra $u$. En este caso, el logaritmo va antes que el polinomio. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

Elegimos las partes de la integral siguiendo la regla ALPES: - $u = \ln^2 x$ - $dv = x \, dx$ Calculamos la diferencial de $u$ (aplicando la regla de la cadena) y la integral de $dv$: - $du = 2 \ln x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx$ - $v = \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x \ln^2 x \, dx = \ln^2 x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la nueva integral: $$\int x \ln^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \int x \ln x \, dx$$

Todavía tenemos una integral del tipo producto, $\int x \ln x \, dx$, por lo que aplicamos de nuevo el método por partes para resolverla de forma aislada: Elegimos: - $u = \ln x \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ Resolvemos la integral inmediata resultante: $$\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$$ 💡 **Tip:** No olvides mantener los paréntesis o el signo negativo de la operación principal al sustituir este resultado parcial.

Retomamos la expresión del paso 2 y sustituimos el resultado obtenido en el paso 3: $$\int x \ln^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right)$$ Distribuimos el signo negativo y añadimos la constante de integración $C$: $$\int x \ln^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C$$ Podemos simplificar sacando factor común $\frac{x^2}{4}$ o $\frac{x^2}{2}$ para que la expresión sea más elegante: $$\int x \ln^2 x \, dx = \frac{x^2}{4} \left( 2\ln^2 x - 2\ln x + 1 \right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \ln^2 x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2 x - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C}$$