Estudio de monotonía, extremos y asíntotas de una función exponencial

**(a) (1 p) Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento (monotonía), primero debemos calcular la derivada de la función $f(x) = 2xe^{-2x^2}$ utilizando la regla del producto y la regla de la cadena. Identificamos las partes: - $u(x) = 2x \implies u'(x) = 2$ - $v(x) = e^{-2x^2} \implies v'(x) = e^{-2x^2} \cdot (-4x)$ Aplicamos $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = 2 \cdot e^{-2x^2} + 2x \cdot \left(-4x e^{-2x^2}\right)$$ $$f'(x) = 2e^{-2x^2} - 8x^2e^{-2x^2}$$ Factorizamos para facilitar el estudio del signo: $$f'(x) = 2e^{-2x^2}(1 - 4x^2)$$ 💡 **Tip:** Al derivar funciones con exponenciales, siempre es recomendable factorizar la exponencial al final, ya que $e^{g(x)}$ siempre es positiva y no afecta al signo de la derivada. $$\boxed{f'(x) = 2e^{-2x^2}(1 - 4x^2)}$$

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$. Como el factor $2e^{-2x^2}$ es siempre positivo para cualquier valor de $x$, igualamos a cero el segundo factor: $$1 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \implies x = \pm \frac{1}{2}$$ Los puntos críticos son **$x = -0,5$** y **$x = 0,5$**.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\ \hline 1-4x^2 & - & 0 & + & 0 & - \\ 2e^{-2x^2} & + & + & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ Concluimos los intervalos: - $f(x)$ es **decreciente** en $(-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)$. - $f(x)$ es **creciente** en $(-1/2, 1/2)$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-1/2, 1/2); \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, -1/2) \cup (1/2, +\infty)}$$

Basándonos en el estudio del signo de la derivada del paso anterior: 1. En $x = -1/2$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo tanto hay un **mínimo relativo**. 2. En $x = 1/2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo tanto hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas correspondientes: - $f(-1/2) = 2(-1/2)e^{-2(-1/2)^2} = -1 \cdot e^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{e}}$ - $f(1/2) = 2(1/2)e^{-2(1/2)^2} = 1 \cdot e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 💡 **Tip:** Para razonar si es máximo o mínimo, puedes usar el criterio de la primera derivada (cambio de signo) o el de la segunda derivada ($f''(x_0) \gt 0$ para mínimo, $f''(x_0) \lt 0$ para máximo). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en: } (-1/2, -1/\sqrt{e}) \quad \text{Máximo relativo en: } (1/2, 1/\sqrt{e})}$$

Estudiamos las asíntotas de la función: **1. Asíntotas Verticales (AV):** El dominio de $f(x) = 2xe^{-2x^2}$ es $\mathbb{R}$, ya que es el producto de un polinomio y una función exponencial definida para todo $x$. Al no haber puntos de discontinuidad ni valores que anulen denominadores, **no hay asíntotas verticales**. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} 2xe^{-2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^{2x^2}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{4xe^{2x^2}} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ Debido a la simetría de la función (es una función impar), el límite cuando $x \to -\infty$ también será 0: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$ Por lo tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos sentidos, **no hay asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y=0; \text{ AO: No hay}}$$