Cálculo de parámetros y recta tangente

**(a) (1,5 p) Encuentra los valores de los parámetros $A, B$ y $C$.** Primero, calculamos el valor de $C$ utilizando la condición $f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$. Evaluamos la función en $x = 0$: $$f(0) = 0^3 + A(0)^2 + B(0) + C = C$$ Ahora calculamos el límite. Al sustituir $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = \frac{2e^0}{1} = 2$$ Igualando ambos resultados: $$\boxed{C = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar la regla de L'Hôpital la función debe presentar una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Sabemos que las rectas tangentes en $x = -1$ y $x = 2$ son paralelas. Esto significa que las pendientes en esos puntos son iguales, es decir, $f'(-1) = f'(2)$. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ Evaluamos la derivada en $x = -1$ y $x = 2$: $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2A(-1) + B = 3 - 2A + B$$ $$f'(2) = 3(2)^2 + 2A(2) + B = 12 + 4A + B$$ Igualamos ambas expresiones: $$3 - 2A + B = 12 + 4A + B$$ Observamos que $B$ se cancela en ambos lados: $$-2A - 4A = 12 - 3 \implies -6A = 9 \implies A = -\frac{9}{6}$$ $$\boxed{A = -1.5 \quad \text{o} \quad A = -\frac{3}{2}}$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$).

La función tiene un extremo relativo en $x = 1$, lo que implica que la derivada en ese punto debe ser nula: $f'(1) = 0$. Utilizamos la expresión de la derivada $f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$ y el valor de $A = -1.5$ ya calculado: $$f'(1) = 3(1)^2 + 2(-1.5)(1) + B = 0$$ $$3 - 3 + B = 0 \implies B = 0$$ Por tanto, el valor de $B$ es: $$\boxed{B = 0}$$ Concluyendo el apartado (a), los valores son: **$A = -1.5, B = 0$ y $C = 2$**. 💡 **Tip:** Si una función derivable tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en $x = x_0$, entonces $f'(x_0) = 0$.

**(b) (1 p) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ para los valores de los parámetros $A = -3, B = 0$ y $C = 4$.** Con los nuevos valores, la función es: $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$$ Su derivada es: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$ Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = -1$, necesitamos: 1. El punto de tangencia: $(-1, f(-1))$ 2. La pendiente: $m = f'(-1)$ Calculamos $f(-1)$: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$$ El punto es **$(-1, 0)$**. Calculamos la pendiente $m$: $$m = f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$$ 💡 **Tip:** La ecuación punto-pendiente de la recta es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Aplicamos la fórmula de la recta tangente en $x = -1$: $$y - f(-1) = f'(-1)(x - (-1))$$ $$y - 0 = 9(x + 1)$$ Despejando la $y$, obtenemos la ecuación explícita: $$\boxed{y = 9x + 9}$$ Podemos visualizar la función y su tangente en el siguiente gráfico: