Paralelismo, intersección y simetría en el espacio

**(a) (0,75 p) Calcula el valor del parámetro $A$ para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos.** Para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Primero, obtenemos el vector director de $r$ realizando el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen: $$\vec{n_1} = (2, -1, 1), \quad \vec{n_2} = (1, -1, 4)$$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(-4) + \vec{j}(1) + \vec{k}(-2) - [\vec{k}(-1) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(8)]$$ $$\vec{v_r} = -4\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} + \vec{k} + \vec{i} - 8\vec{j} = (-3, -7, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n_\pi} = (2, -3, A)$. Para que $r \parallel \pi$, se debe cumplir que $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$: $$(-3, -7, -1) \cdot (2, -3, A) = 0$$ $$-3(2) + (-7)(-3) + (-1)(A) = 0$$ $$-6 + 21 - A = 0 \implies 15 - A = 0 \implies A = 15$$ Debemos verificar que la recta no esté contenida en el plano. Tomamos un punto de $r$. Si $z = 0$: $$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies x = -1, y = -2 \implies P(-1, -2, 0)$$ Sustituimos $P$ en $\pi$ con $A=15$: $$2(-1) - 3(-2) + 15(0) = -2 + 6 = 4 \neq 10$$ Como $P \notin \pi$, la recta es paralela y no está contenida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 15}$$

**(b) (0,75 p) Si $A = 21$, calcula la intersección del plano $\pi$ y la recta $r$.** Debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano: $$\begin{cases} 2x - y + z = 0 & (1) \\ x - y + 4z = 1 & (2) \\ 2x - 3y + 21z = 10 & (3) \end{cases}$$ De la ecuación (2) despejamos $x$: $$x = 1 + y - 4z$$ Sustituimos en (1): $$2(1 + y - 4z) - y + z = 0 \implies 2 + 2y - 8z - y + z = 0 \implies y - 7z = -2 \implies y = 7z - 2$$ Sustituimos $x$ e $y$ en (3): $$2(1 + (7z - 2) - 4z) - 3(7z - 2) + 21z = 10$$ $$2(3z - 1) - 3(7z - 2) + 21z = 10$$ $$6z - 2 - 21z + 6 + 21z = 10 \implies 6z + 4 = 10 \implies 6z = 6 \implies z = 1$$ Calculamos las otras coordenadas: $$y = 7(1) - 2 = 5$$ $$x = 3(1) - 1 = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(2, 5, 1)}$$

**(c) (1 p) Si $A = 1$, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.** El plano es $\pi \equiv 2x - 3y + z = 10$. El origen es $O(0, 0, 0)$. Para hallar el simétrico $O'$, primero trazamos una recta $s$ que pase por $O$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector director de $s$ será el vector normal de $\pi$: $$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} = (2, -3, 1)$$ La ecuación paramétrica de $s$ es: $$s \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -3\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $O'$ se encuentra al otro lado del plano a la misma distancia que $O$. El punto de intersección $M$ será el punto medio del segmento $OO'$.

Buscamos el punto de corte $M = s \cap \pi$ sustituyendo las paramétricas de $s$ en la ecuación del plano: $$2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + (\lambda) = 10$$ $$4\lambda + 9\lambda + \lambda = 10$$ $$14\lambda = 10 \implies \lambda = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$$ Calculamos las coordenadas de $M$: $$x_M = 2\left(\frac{5}{7}\right) = \frac{10}{7}, \quad y_M = -3\left(\frac{5}{7}\right) = -\frac{15}{7}, \quad z_M = \frac{5}{7}$$ $$M\left(\frac{10}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{5}{7}\right)$$

Como $M$ es el punto medio del segmento $OO'$, se cumple: $$M = \frac{O + O'}{2} \implies O' = 2M - O$$ Sustituimos las coordenadas: $$O' = 2\left(\frac{10}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{5}{7}\right) - (0, 0, 0)$$ $$O' = \left(\frac{20}{7}, -\frac{30}{7}, \frac{10}{7}\right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{O'\left(\frac{20}{7}, -\frac{30}{7}, \frac{10}{7}\right)}$$