Posición relativa y distancia entre dos rectas en el espacio

**(a) (1 p) Determina su posición relativa.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$, dada en su forma continua: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 2, -1)$ - Punto: $P_r = (1, -1, 0)$ Para la recta $s$, dada en su forma paramétrica: - Vector director: $\vec{v}_s = (1, 3, 1)$ - Punto: $P_s = (0, -2, -1)$ Calculamos también el vector que une ambos puntos: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0 - 1, -2 - (-1), -1 - 0) = (-1, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Analizamos si los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comprobando si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{1}{1} \neq \frac{2}{3} \neq \frac{-1}{1}$$ Como no existe proporcionalidad, los vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas **se cortan en un punto** o **se cruzan en el espacio**. Para distinguirlo, estudiaremos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector unión $\vec{P_r P_s}$. $$\boxed{\text{Los vectores } \vec{v}_r \text{ y } \vec{v}_s \text{ no son paralelos}}$$

Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|M| = [1 \cdot 3 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 \cdot 1] - [(-1) \cdot 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|M| = [-3 + 1 - 2] - [3 - 2 - 1] = [-4] - [0] = -4$$ Como el determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto implica que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) (1,5 p) Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.** Dado que hemos determinado que las rectas se cruzan, debemos calcular la distancia entre ellas. La fórmula para la distancia entre dos rectas que se cruzan es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores dividido por el área de su base: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya conocemos el numerador, que es el valor absoluto del determinante hallado en el apartado anterior: $$|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]| = |-4| = 4$$ 💡 **Tip:** El producto mixto $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ coincide con el determinante de la matriz que forman sus coordenadas.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$ mediante su determinante asociado: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i}(2 - (-3)) - \vec{j}(1 - (-1)) + \vec{k}(3 - 2)$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = 5\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} = (5, -2, 1)$$ $$\boxed{\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (5, -2, 1)}$$

Primero hallamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}$$ Ahora sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{4}{\sqrt{30}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{4\sqrt{30}}{30} = \frac{2\sqrt{30}}{15} \text{ unidades de longitud}$$ Valor aproximado: $d(r, s) \approx 0,7303 \text{ u.}$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{2\sqrt{30}}{15} \text{ u.}}$$