Cálculo del rango de una matriz con parámetros

Para calcular el rango de la matriz $A$, debemos observar sus dimensiones. La matriz $A$ es de orden $3 \times 4$. Esto implica que el rango máximo posible de la matriz es **3**, ya que $\text{rg}(A) \le \min(3, 4)$. El rango será el orden del mayor menor no nulo que podamos encontrar. Estrategia: 1. Seleccionaremos un menor de orden $3 \times 3$ que dependa de $m$. 2. Calcularemos su determinante e igualaremos a cero para encontrar los valores críticos de $m$. 3. Estudiaremos el rango para esos valores específicos y para el caso general. 💡 **Tip:** El rango de una matriz representa el número de filas (o columnas) linealmente independientes.

Seleccionamos el menor formado por las columnas $C_1, C_2$ y $C_4$ (elegimos $C_4$ porque tiene elementos sencillos): $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m & 2 - m & 1 \\ m & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, aplicamos propiedades de los determinantes para hacer ceros en la última columna ($F_2 - F_1$ y $F_3 - F_1$): $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m-1 & (2-m)-3 & 1-1 \\ m-1 & -2-3 & 1-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ m-1 & -m-1 & 0 \\ m-1 & -5 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por los elementos de la tercera columna: $$|M| = 1 \cdot \begin{vmatrix} m-1 & -m-1 \\ m-1 & -5 \end{vmatrix} = (m-1)(-5) - (m-1)(-m-1)$$ $$|M| = (m-1) \left[ -5 - (-m-1) \right] = (m-1)(-5 + m + 1) = (m-1)(m-4)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores que anulan este menor: $$(m-1)(m-4) = 0 \implies \mathbf{m=1} \quad \text{y} \quad \mathbf{m=4}$$

Si $m \neq 1$ y $m \neq 4$, el determinante del menor $|M|$ es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Como hemos encontrado al menos un menor de orden 3 cuyo determinante no es nulo, podemos afirmar que las tres filas de la matriz son linealmente independientes. ✅ **Resultado para el caso general:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1 \text{ y } m \neq 4, \text{ rg}(A) = 3}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la columna $C_4$ es idéntica a $C_1$, por lo que no aporta rango. Además, ya sabemos que todos los menores de orden 3 que incluyan a $C_1, C_2, C_4$ son nulos. Comprobamos el menor que falta ($C_1, C_2, C_3$): $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot -1) + (3 \cdot 2 \cdot 1) + (4 \cdot 1 \cdot -2) - \left[ (4 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot -2 \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot -1) \right]$$ $$= (-1 + 6 - 8) - (4 - 4 - 3) = -3 - (-3) = 0$$ Todos los menores de orden 3 son nulos, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo, entre las filas 1 y 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0$$ ✅ **Resultado para m = 1:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ rg}(A) = 2}$$

Sustituimos $m = 4$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 2 y la fila 3 son exactamente iguales ($F_2 = F_3$). Por lo tanto, la matriz tiene al menos una fila dependiente, y el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo entre la fila 1 y la fila 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 12 = -14 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo y ser todas las filas de orden 3 dependientes (por tener dos iguales), el rango es 2. 💡 **Tip:** Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante (de cualquier menor que incluya esas filas) será cero. ✅ **Resultado para m = 4:** $$\boxed{\text{Si } m = 4, \text{ rg}(A) = 2}$$

Recopilando el estudio realizado según los valores de $m$: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 4\}$**, el rango es **3**. - Si **$m = 1$** o **$m = 4$**, el rango es **2**. $$\text{rg}(A) = \begin{cases} 3 & \text{si } m \neq 1, 4 \\ 2 & \text{si } m = 1, 4 \end{cases}$$