Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(1p) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro $\alpha$** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 4 & 1 \\ \alpha & -5 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} \alpha & 4 & 1 & 3 \\ \alpha & -5 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$ El primer paso para aplicar el **Teorema de Rouché-Capelli** es calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (rango 3).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 4 & 1 \\ \alpha & -5 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = [(-15\alpha) + 16 + (-\alpha)] - [(-10) + (-2\alpha) + 12\alpha]$$ $$|A| = [-16\alpha + 16] - [10\alpha - 10]$$ $$|A| = -16\alpha + 16 - 10\alpha + 10 = -26\alpha + 26$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$-26\alpha + 26 = 0 \implies 26\alpha = 26 \implies \alpha = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz principal es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado.

Analizamos los casos posibles para el parámetro $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^\text{o} \text{ incógnitas} \implies \textbf{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ (Solución única). **Caso 2: $\alpha = 1$** Si $\alpha = 1$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Veamos la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & -5 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que el menor de $A$ formado por las dos primeras filas y columnas es no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = -5 - 4 = -9 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, observamos la relación entre las filas: $R_1 + R_2 = (1+1, 4-5, 1+2, 3-2) = (2, -1, 3, 1) = R_3$. Como la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras, $\text{rg}(A^*) = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n^\text{o} \text{ incógnitas} \implies \textbf{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}$$ (Infinitas soluciones). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } \alpha \neq 1, \text{ SCD; si } \alpha = 1, \text{ SCI}}$$

**(a) (0,75 p) cuando $\alpha = 0$** Si $\alpha = 0$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $\alpha$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} 4y + z = 3 & (1) \\ -5y + 2z = -2 & (2) \\ 2x - y + 3z = 1 & (3) \end{cases}$$ Resolvemos el sistema de (1) y (2). De (1), despejamos $z = 3 - 4y$. Sustituimos en (2): $$-5y + 2(3 - 4y) = -2 \implies -5y + 6 - 8y = -2$$ $$-13y = -8 \implies y = \frac{8}{13}$$ Calculamos $z$: $$z = 3 - 4\left(\frac{8}{13}\right) = \frac{39 - 32}{13} = \frac{7}{13}$$ Sustituimos $y$ y $z$ en (3) para hallar $x$: $$2x - \frac{8}{13} + 3\left(\frac{7}{13}\right) = 1 \implies 2x - \frac{8}{13} + \frac{21}{13} = 1$$ $$2x + \frac{13}{13} = 1 \implies 2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{x = 0, \, y = \frac{8}{13}, \, z = \frac{7}{13}}$$

**(b) (0,75 p) cuando $\alpha = 1$** Si $\alpha = 1$, el sistema es Compatible Indeterminado. Como vimos en la discusión, la tercera ecuación es redundante ($R_3 = R_1 + R_2$). Trabajamos con las dos primeras: $$\begin{cases} x + 4y + z = 3 \\ x - 5y + 2z = -2 \end{cases}$$ Parametrizamos una variable, por ejemplo, $y = \lambda$. El sistema queda: $$\begin{cases} x + z = 3 - 4\lambda \\ x + 2z = -2 + 5\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 2z) - (x + z) = (-2 + 5\lambda) - (3 - 4\lambda)$$ $$z = -5 + 9\lambda$$ Ahora calculamos $x$ de la primera ecuación: $$x = 3 - 4\lambda - z = 3 - 4\lambda - (-5 + 9\lambda)$$ $$x = 3 - 4\lambda + 5 - 9\lambda = 8 - 13\lambda$$ 💡 **Tip:** Un sistema compatible indeterminado siempre debe expresarse en función de un parámetro (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\begin{cases} x = 8 - 13\lambda \\ y = \lambda \\ z = -5 + 9\lambda \end{cases} \, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$