Área entre una función racional y una polinómica de tercer grado

**Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $f(x) = \frac{9}{x}$ y $g(x) = 10x - x^3$** Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. $$\frac{9}{x} = 10x - x^3$$ Multiplicamos toda la ecuación por $x$ (asumiendo que $x \neq 0$ ya que no pertenece al dominio de $f(x)$): $$9 = 10x^2 - x^4 \implies x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$ 💡 **Tip:** Al igualar funciones que contienen fracciones, multiplicar por el denominador es un paso estándar para obtener una ecuación polinómica, pero siempre verifica que el denominador no sea cero.

Para resolver $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$, realizamos un cambio de variable: sea $t = x^2$. $$t^2 - 10t + 9 = 0$$ Aplicamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}$$ Las soluciones para $t$ son: - $t_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9$ - $t_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1$ Deshacemos el cambio de variable $x^2 = t$: - Si $x^2 = 9 \implies \mathbf{x = \pm 3}$ - Si $x^2 = 1 \implies \mathbf{x = \pm 1}$ Como el enunciado nos pide centrarnos en los puntos con **$x > 0$**, los valores de abscisa que utilizaremos son **$x = 1$** y **$x = 3$**. Calculamos las ordenadas correspondientes: - Para $x = 1: f(1) = \frac{9}{1} = 9 \implies \mathbf{P_1(1, 9)}$ - Para $x = 3: f(3) = \frac{9}{3} = 3 \implies \mathbf{P_2(3, 3)}$ ✅ **Resultado (puntos de corte con $x>0$):** $$\boxed{(1, 9) \text{ y } (3, 3)}$$

Para calcular el área, debemos determinar cuál de las dos funciones es mayor en el intervalo $(1, 3)$. Elegimos un punto de prueba en el intervalo, por ejemplo $x = 2$: - $f(2) = \frac{9}{2} = 4.5$ - $g(2) = 10(2) - (2)^3 = 20 - 8 = 12$ Como $g(2) > f(2)$, sabemos que en el intervalo $[1, 3]$ la función **$g(x)$ está por encima de $f(x)$**. 💡 **Tip:** Para el cálculo de áreas entre curvas, la integral se plantea como $\int_{a}^{b} (\text{superior} - \text{inferior}) dx$ para asegurar un resultado positivo.

El área de la región encerrada viene dada por la integral definida: $$\text{Área} = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} \left( 10x - x^3 - \frac{9}{x} \right) \, dx$$ Calculamos la primitiva de la función: $$\int \left( 10x - x^3 - \frac{9}{x} \right) \, dx = 10\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} - 9\ln|x| = 5x^2 - \frac{x^4}{4} - 9\ln|x|$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites de integración $[1, 3]$: $$A = \left[ 5x^2 - \frac{x^4}{4} - 9\ln|x| \right]_1^3$$ $$A = \left( 5(3)^2 - \frac{3^4}{4} - 9\ln(3) \right) - \left( 5(1)^2 - \frac{1^4}{4} - 9\ln(1) \right)$$ $$A = \left( 45 - \frac{81}{4} - 9\ln 3 \right) - \left( 5 - \frac{1}{4} - 0 \right)$$ $$A = 45 - 20.25 - 9\ln 3 - 4.75$$ $$A = 20 - 9\ln 3$$ Operando con el valor aproximado (opcional): $20 - 9(1.0986) \approx 20 - 9.887 = 10.113$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 20 - 9\ln 3 \text{ u}^2 \approx 10.113 \text{ u}^2}$$