Continuidad y Teorema de Bolzano

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, 4]$. (1,25 puntos)** Analizamos la estructura de la función $f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}$: 1. El término $x^2$ es una **función polinómica**, y sabemos que todas las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales, $\mathbb{R}$. 2. El término $e^{\frac{x}{4}}$ es una **función exponencial** cuya base es el número $e$ y cuyo exponente es una función lineal $\frac{1}{4}x$. Al ser composición de funciones continuas, es continua en todo $\mathbb{R}$. Como la función $f(x)$ es la suma de dos funciones continuas en $\mathbb{R}$, entonces $f(x)$ es continua en todo su dominio, que es $\mathbb{R}$. En particular, al ser continua en $\mathbb{R}$, la función es continua en cualquier intervalo cerrado contenido en él. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma, resta, producto y composición de funciones continuas dan como resultado otra función continua en su dominio común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [-2, 4] \text{ por ser suma de funciones continuas en } \mathbb{R}}$$

**b) Comprueba que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2, 4)$ tales que $f(\alpha) = 2 = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)** Para resolver este apartado utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. **Teorema de Bolzano:** Sea $g(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si el signo de la función en los extremos es distinto, es decir, $g(a) \cdot g(b) \lt 0$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. En este caso, queremos demostrar que $f(x) = 2$. Esto equivale a encontrar las raíces de una función auxiliar $g(x) = f(x) - 2$. Si $g(c) = 0$, entonces $f(c) - 2 = 0 \implies f(c) = 2$. 💡 **Tip:** El teorema de Bolzano se usa para asegurar la existencia de soluciones de una ecuación, no necesariamente para encontrarlas.

Definimos la función auxiliar $g(x) = f(x) - 2 = x^2 + e^{\frac{x}{4}} - 2$. Esta función es continua en $[-2, 4]$ por ser suma de funciones continuas. Buscamos un primer intervalo dentro de $(-2, 4)$ donde la función cambie de signo. Probamos con $x = -2$ y $x = 0$: - Para $x = -2$: $$g(-2) = (-2)^2 + e^{\frac{-2}{4}} - 2 = 4 + e^{-0.5} - 2 = 2 + \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 2 + 0.606 = 2.606 \gt 0$$ - Para $x = 0$: $$g(0) = 0^2 + e^{\frac{0}{4}} - 2 = 0 + e^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \lt 0$$ Como $g(x)$ es continua en $[-2, 0]$ y $g(-2) \gt 0$ mientras que $g(0) \lt 0$, por el Teorema de Bolzano existe un valor **$\alpha \in (-2, 0)$** tal que $g(\alpha) = 0$, lo que implica que **$f(\alpha) = 2$**. Como $(-2, 0) \subset (-2, 4)$, el valor $\alpha$ pertenece al intervalo solicitado.

Ahora buscamos un segundo intervalo donde cambie de signo, probando con el extremo superior $x = 4$: - Ya sabemos que $g(0) = -1 \lt 0$. - Para $x = 4$: $$g(4) = 4^2 + e^{\frac{4}{4}} - 2 = 16 + e^1 - 2 = 14 + e \approx 14 + 2.718 = 16.718 \gt 0$$ Como $g(x)$ es continua en $[0, 4]$ y $g(0) \lt 0$ mientras que $g(4) \gt 0$, por el Teorema de Bolzano existe un valor **$\beta \in (0, 4)$** tal que $g(\beta) = 0$, lo que implica que **$f(\beta) = 2$**. Al ser $\alpha \in (-2, 0)$ y $\beta \in (0, 4)$, hemos demostrado la existencia de dos valores distintos en el intervalo $(-2, 4)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existen } \alpha \in (-2, 0) \text{ y } \beta \in (0, 4) \text{ tales que } f(\alpha) = f(\beta) = 2}$$