Estudio completo y representación de la función $e^{-x^2}$

Para realizar el estudio completo de $f(x) = e^{-x^2}$, primero observamos que el exponente $-x^2$ es un polinomio definido en todo $\mathbb{R}$, y la función exponencial también lo está. Por tanto, el **dominio** es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Calculamos la primera y segunda derivada usando la regla de la cadena: - **Primera derivada:** $$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = -2x e^{-x^2}$$ - **Segunda derivada:** Derivamos como un producto ($u \cdot v$): $$f''(x) = (-2x)' \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (e^{-x^2})'$$ $$f''(x) = -2 e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2}$$ $$f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. Esta función es conocida como la campana de Gauss. $$\boxed{f'(x) = -2x e^{-x^2}, \quad f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -2x e^{-x^2} = 0$$ Como $e^{-x^2} \gt 0$ para cualquier $x$, la única solución es $x = 0$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline -2x & + & 0 & - \\ e^{-x^2} & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - En $x = 0$ hay un **máximo relativo**. La ordenada es $f(0) = e^0 = 1$. - La función es creciente en $(-\infty, 0)$ y decreciente en $(0, +\infty)$. ✅ **Resultado (extremo relativo):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 1)}$$

Para determinar si los extremos son absolutos, observamos los límites en el infinito y el valor de la función: - $\lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = e^{-\infty} = 0$. - Dado que el valor máximo alcanzado es $1$ y la función siempre es positiva ($e^{-x^2} \gt 0$), el punto $(0,1)$ es el **máximo absoluto**. - No existe un mínimo absoluto porque la función se acerca a $0$ sin llegar a tocarlo (el ínfimo es $0$). ✅ **Resultado (extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } (0, 1). \text{ No existen mínimos absolutos.}}$$

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \implies (4x^2 - 2)e^{-x^2} = 0 \implies 4x^2 - 2 = 0$$ $$x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0,71$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ para comprobar el cambio de curvatura: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) \\ \hline 4x^2-2 & + & 0 & - & 0 & + \\ e^{-x^2} & + & + & + & + & + \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (Conv)} & \text{P.I.} & \cap \text{ (Cónc)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Conv)} \end{array} $$ Las ordenadas de los puntos de inflexión son $f(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0,61$. ✅ **Resultado (Puntos de Inflexión):** $$\boxed{I_1(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}) \text{ e } I_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})}$$

**1. Asíntotas Verticales (AV):** No existen, ya que el dominio es $\mathbb{R}$ y no hay puntos donde la función tienda a infinito. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ Por tanto, la recta **$y = 0$** (el eje $X$) es una asíntota horizontal tanto por la izquierda como por la derecha. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, no existen asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay. AH: } y=0. \text{ AO: No hay.}}$$

Utilizando los puntos obtenidos: - Máximo en $(0, 1)$. - Puntos de inflexión en $(\pm 0,71, 0,61)$. - Asíntota horizontal en $y=0$. - La función es par, ya que $f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$ (simétrica respecto al eje $Y$).