Cálculo de derivadas: Función potencial-exponencial y cociente

**a) $f(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^{\cos x}$ (1,25 puntos)** Estamos ante una función de tipo "potencial-exponencial" (una función elevada a otra función). La técnica más sencilla para derivar estas expresiones es la **derivación logarítmica**. Primero, aplicamos el logaritmo neperiano en ambos miembros: $$\ln f(x) = \ln \left[ \left( \frac{1}{x} \right)^{\cos x} \right]$$ Usamos la propiedad de los logaritmos: $\ln(a^b) = b \cdot \ln a$: $$\ln f(x) = \cos x \cdot \ln \left( \frac{1}{x} \right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(1) - \ln(x) = -\ln x$. Esto simplifica mucho la expresión antes de derivar. Sustituyendo: $$\ln f(x) = \cos x \cdot (-\ln x) = -\cos x \cdot \ln x$$

Ahora derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a $x$. En el lado izquierdo, usamos la regla de la cadena para el logaritmo: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. En el lado derecho, aplicamos la regla del producto para $u(x) = -\cos x$ y $v(x) = \ln x$: $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} [-\cos x \cdot \ln x]$$ $$\frac{f'(x)}{f(x)} = (-\cos x)' \cdot \ln x + (-\cos x) \cdot (\ln x)'$$ Sabiendo que $(-\cos x)' = \sin x$ y $(\ln x)' = \frac{1}{x}$: $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \sin x \cdot \ln x - \frac{\cos x}{x}$$ 💡 **Tip:** La regla del producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. No olvides que la derivada de $-\cos x$ es $\sin x$.

Para obtener $f'(x)$, pasamos $f(x)$ multiplicando al otro lado: $$f'(x) = f(x) \cdot \left[ \sin x \cdot \ln x - \frac{\cos x}{x} \right]$$ Sustituimos $f(x)$ por su expresión original: $$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^{\cos x} \cdot \left( \sin x \ln x - \frac{\cos x}{x} \right)$$ Podemos dejar el resultado así o reescribirlo usando la propiedad $1/x = x^{-1}$: ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^{\cos x} \left( \sin x \ln x - \frac{\cos x}{x} \right)}$$

**b) $g(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$ (1,25 puntos)** Para derivar un cociente de la forma $g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, usamos la fórmula: $$g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Identificamos las funciones y sus derivadas: - $u(x) = x^2 + 4x + 1 \implies u'(x) = 2x + 4$ - $v(x) = (x + 2)^2 \implies v'(x) = 2(x + 2) \cdot 1 = 2x + 4$ 💡 **Tip:** Nota que $u'(x) = 2(x+2)$ y $v'(x) = 2(x+2)$. Factorizar esto desde el principio facilitará la simplificación final.

Sustituimos en la fórmula del cociente: $$g'(x) = \frac{(2x+4) \cdot (x+2)^2 - (x^2+4x+1) \cdot (2x+4)}{[(x+2)^2]^2}$$ Sacamos factor común $(2x+4)$ en el numerador: $$g'(x) = \frac{(2x+4) [ (x+2)^2 - (x^2+4x+1) ]}{(x+2)^4}$$ Operamos dentro del corchete: $$(x+2)^2 - (x^2+4x+1) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 + 4x + 1) = 3$$ Sustituimos de nuevo: $$g'(x) = \frac{(2x+4) \cdot 3}{(x+2)^4}$$ Como $2x+4 = 2(x+2)$, podemos simplificar un término $(x+2)$ con el denominador: $$g'(x) = \frac{2(x+2) \cdot 3}{(x+2)^4} = \frac{6(x+2)}{(x+2)^4} = \frac{6}{(x+2)^3}$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{g'(x) = \frac{6}{(x + 2)^3}}$$