Volumen de un tetraedro y puntos de corte con los ejes

**a) ¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? (1,5 puntos)** Primero, determinamos los tres vértices del tetraedro que se encuentran en los ejes de coordenadas. Estos puntos son las intersecciones del plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ con los ejes $OX$, $OY$ y $OZ$: * **Eje OX** ($y=0, z=0$): $2x - 0 - 2(0) - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Punto $\mathbf{A(1, 0, 0)}$. * **Eje OY** ($x=0, z=0$): $2(0) - y - 2(0) - 2 = 0 \implies -y = 2 \implies y = -2$. Punto $\mathbf{B(0, -2, 0)}$. * **Eje OZ** ($x=0, y=0$): $2(0) - 0 - 2z - 2 = 0 \implies -2z = 2 \implies z = -1$. Punto $\mathbf{C(0, 0, -1)}$. 💡 **Tip:** Para hallar el punto de corte con un eje, basta con igualar a cero las otras dos coordenadas en la ecuación del plano.

Consideramos como base del tetraedro el triángulo formado por los puntos $A$, $B$ y $C$. El área de este triángulo se calcula mediante el producto vectorial: Calculamos los vectores directores: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, -2-0, 0-0) = (-1, -2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-1, 0-0, -1-0) = (-1, 0, -1)$$ Realizamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante un determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [(-2) \cdot (-1)]\vec{i} + [0 \cdot (-1)]\vec{j} + [(-1) \cdot 0]\vec{k} - [(-1) \cdot (-2)]\vec{k} - [0 \cdot 0]\vec{i} - [(-1) \cdot (-1)]\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 2\vec{i} - \vec{j} - 2\vec{k} = (2, -1, -2)$$ El área de la base $A_b$ es la mitad del módulo de este vector: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$$ $$A_b = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{3}{2} u^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que forman. La mitad es el área del triángulo.

Sabemos que el volumen de un tetraedro viene dado por la fórmula: $$V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$$ donde $h$ es la altura del tetraedro, que coincide con la distancia del cuarto vértice $D$ al plano $\pi$ que contiene a la base $ABC$. Sustituimos los valores conocidos ($V = 3$ y $A_b = \frac{3}{2}$): $$3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot h \implies 3 = \frac{1}{2} \cdot h$$ Despejamos $h$: $$h = 6$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{\text{La distancia del cuarto vértice al plano } \pi \text{ debe ser } 6 \text{ unidades.}}$$

**b) Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. (1 punto)** Sea $D(x, y, z)$ el cuarto vértice. Su distancia al plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ debe ser $h = 6$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$d(D, \pi) = \frac{|2x_D - y_D - 2z_D - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = 6$$ $$d(D, \pi) = \frac{|2x - y - 2z - 2|}{3} = 6$$ $$|2x - y - 2z - 2| = 18$$ Esto nos da dos posibles planos donde puede estar el vértice $D$: 1. $2x - y - 2z - 2 = 18 \implies 2x - y - 2z - 20 = 0$ 2. $2x - y - 2z - 2 = -18 \implies 2x - y - 2z + 16 = 0$ Cualquier punto que pertenezca a uno de estos dos planos servirá como cuarto vértice. 💡 **Tip:** Para encontrar puntos específicos de forma sencilla, podemos dar valor $0$ a dos de las coordenadas y despejar la tercera.

Buscamos un punto en cada plano: * **Punto $D_1$** (del primer plano $2x - y - 2z - 20 = 0$): Si hacemos $y=0$ y $z=0$: $2x - 20 = 0 \implies x = 10$. Así, un punto es **$D_1(10, 0, 0)$**. * **Punto $D_2$** (del segundo plano $2x - y - 2z + 16 = 0$): Si hacemos $y=0$ y $z=0$: $2x + 16 = 0 \implies x = -8$. Así, otro punto es **$D_2(-8, 0, 0)$**. Existen infinitas soluciones, pero estos dos puntos cumplen las condiciones requeridas. ✅ **Resultado (dos puntos):** $$\boxed{D_1(10, 0, 0) \text{ y } D_2(-8, 0, 0)}$$