Vértices y área de un rombo en el espacio

**a) Encuentra el cuarto vértice del rombo (1,75 puntos)** En un rombo, todos los lados tienen la misma longitud. Para determinar qué puntos son adyacentes y cuál es el vértice opuesto, calculamos las distancias entre los puntos dados: - Vector $\vec{AB} = (2-4, -1-(-2), 1-(-3)) = (-2, 1, 4)$ $|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$ - Vector $\vec{AC} = (0-4, -3-(-2), -1-(-3)) = (-4, -1, 2)$ $|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}$ - Vector $\vec{BC} = (0-2, -3-(-1), -1-1) = (-2, -2, -2)$ $|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12}$ Como $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$, los segmentos $AB$ y $AC$ son los lados del rombo que coinciden en el vértice **$A$**. Por tanto, el cuarto vértice $D$ será opuesto al vértice $A$. 💡 **Tip:** En un rombo de vértices $ABDC$, los lados adyacentes que parten de un mismo vértice deben medir lo mismo.

En cualquier paralelogramo (y el rombo lo es), las diagonales se cortan en su punto medio. Dado que $A$ y $D$ son vértices opuestos, la diagonal principal es $AD$ y la otra es $BC$. Calculamos el punto medio $M$ del segmento $BC$: $$M = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{-1-3}{2}, \frac{1-1}{2} \right) = (1, -2, 0)$$ Este punto $M$ debe ser también el punto medio del segmento $AD$. 💡 **Tip:** El punto medio de un segmento de extremos $P$ y $Q$ es $M = \frac{P+Q}{2}$.

Si $M(1, -2, 0)$ es el punto medio de $A(4, -2, -3)$ y $D(x, y, z)$, planteamos la igualdad: $$(1, -2, 0) = \left( \frac{4+x}{2}, \frac{-2+y}{2}, \frac{-3+z}{2} \right)$$ Resolvemos componente a componente: 1. $1 = \frac{4+x}{2} \implies 2 = 4 + x \implies x = -2$ 2. $-2 = \frac{-2+y}{2} \implies -4 = -2 + y \implies y = -2$ 3. $0 = \frac{-3+z}{2} \implies 0 = -3 + z \implies z = 3$ Por tanto, el cuarto vértice es: $$\boxed{D(-2, -2, 3)}$$

**b) Calcula el área del rombo. (0,75 puntos)** El área de un paralelogramo (en este caso, un rombo) definida por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que parten de un mismo vértice es igual al módulo de su producto vectorial: $Area = |\vec{u} \times \vec{v}|$. Utilizamos los vectores de los lados $\vec{AB} = (-2, 1, 4)$ y $\vec{AC} = (-4, -1, 2)$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 4 \\ -4 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante la regla de Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(1 \cdot 2) + \vec{j}(4 \cdot (-4)) + \vec{k}((-2) \cdot (-1)) - [\vec{k}(1 \cdot (-4)) + \vec{i}(4 \cdot (-1)) + \vec{j}((-2) \cdot 2)]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2\vec{i} - 16\vec{j} + 2\vec{k}) - (-4\vec{k} - 4\vec{i} - 4\vec{j})$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2+4)\vec{i} + (-16+4)\vec{j} + (2+4)\vec{k} = 6\vec{i} - 12\vec{j} + 6\vec{k}$$ 💡 **Tip:** El área también se puede calcular como la mitad del producto de las diagonales: $\frac{1}{2} |\vec{AD} \times \vec{BC}|$. El resultado es idéntico.

Calculamos el módulo del vector resultante para obtener el área: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 144 + 36} = \sqrt{216}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \approx 14,697 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 6\sqrt{6} \text{ unidades}^2}$$