Rango de una matriz con parámetros

**P2) Halla el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo: $M = \begin{pmatrix} m - 1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m + 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2,5 puntos)** La matriz $M$ es de dimensión $4 \times 3$. Por definición, el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, y su valor máximo es el menor de sus dimensiones. En este caso: $$\text{rg}(M) \le \min(4, 3) = 3.$$ Para estudiar el rango, buscaremos los valores de $m$ que anulan los determinantes de las submatrices de orden 3 ($menores$). 💡 **Tip:** Si encontramos al menos un menor de orden $k$ distinto de cero, el rango es al menos $k$.

Consideramos el menor formado por las tres primeras filas: $$|M_1| = \begin{vmatrix} m-1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos su valor aplicando la regla de Sarrus: $$|M_1| = [(m-1) \cdot m \cdot (-1) + 3 \cdot 1 \cdot m + 0 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [0 \cdot m \cdot m + (m-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$|M_1| = [-m^2 + m + 3m + 0] - [0 - m + 1 + 3]$$ $$|M_1| = -m^2 + 4m - (-m + 4) = -m^2 + 4m + m - 4$$ $$|M_1| = -m^2 + 5m - 4$$ Igualamos a cero para hallar los valores críticos: $$-m^2 + 5m - 4 = 0 \implies m^2 - 5m + 4 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies \mathbf{m = 4, m = 1}$$ Esto significa que si $m \neq 4$ y $m \neq 1$, el rango de $M$ es 3.

Para verificar qué ocurre cuando $m=4$, tomamos otro menor de orden 3, por ejemplo, el formado por las filas 2, 3 y 4: $$|M_2| = \begin{vmatrix} -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m + 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$|M_2| = [(-1)(-1)(2) + m(-1)(-2) + 1 \cdot m(m+1)] - [1(-1)(-2) + (-1)(-1)(m+1) + m \cdot m \cdot 2]$$ $$|M_2| = [2 + 2m + m^2 + m] - [2 + m + 1 + 2m^2]$$ $$|M_2| = m^2 + 3m + 2 - (2m^2 + m + 3)$$ $$|M_2| = -m^2 + 2m - 1 = -(m^2 - 2m + 1) = -(m-1)^2$$ Igualamos a cero: $$-(m-1)^2 = 0 \implies \mathbf{m = 1}$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular todos los menores posibles. Si un valor de $m$ anula un menor pero no el otro, el rango seguirá siendo 3 para ese valor.

Analizamos los resultados obtenidos: - Si $m \neq 1$, el determinante $|M_2| = -(m-1)^2$ es **distinto de cero**. - Por tanto, existe al menos un menor de orden 3 no nulo. Esto implica que las filas que forman ese menor son linealmente independientes. $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, \text{ rg}(M) = 3}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz original: $$M = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Observamos las relaciones entre filas: - La fila 3 es opuesta a la fila 2 ($F_3 = -F_2$). - La fila 4 es el doble de la fila 3 ($F_4 = 2F_3$). Esto significa que las filas 2, 3 y 4 son proporcionales entre sí y solo una de ellas es independiente. El rango se reduce a estudiar la independencia entre la fila 1 y la fila 2. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-3) = 3 \neq 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero (ya que tres de sus filas son dependientes) y existe un menor de orden 2 distinto de cero: $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ rg}(M) = 2}$$

Resumimos el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m$: - **Si $m \neq 1$**, el rango de la matriz es **3**. - **Si $m = 1$**, el rango de la matriz es **2**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{rg}(M) = \begin{cases} 3 & \text{si } m \neq 1 \\ 2 & \text{si } m = 1 \end{cases}}$$