Discusión y resolución de un sistema con parámetro

Para estudiar el sistema, lo representamos en forma matricial $A \cdot X = B$. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2-a & -a & 2 \\ a-2 & a+1 & 0 \\ 0 & 1 & a^2-a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2-a & -a & 2 & | & -4 \\ a-2 & a+1 & 0 & | & 5 \\ 0 & 1 & a^2-a & | & 3-a \end{pmatrix}$$ El estudio se realizará mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que establece la relación entre los rangos de estas matrices y la compatibilidad del sistema. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius dice: - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas) $\implies$ **SCD** (Solución única). - Si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$ $\implies$ **SCI** (Infinitas soluciones). - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$ $\implies$ **SI** (Sin solución).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2-a & -a & 2 \\ a-2 & a+1 & 0 \\ 0 & 1 & a^2-a \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por filas/columnas: $$|A| = (2-a)(a+1)(a^2-a) + 0 + 2(a-2) - [0 + 0 + (a-2)(-a)(a^2-a)]$$ $$|A| = -(a-2)(a+1)a(a-1) + 2(a-2) + a(a-2)a(a-1)$$ Factorizamos $(a-2)$: $$|A| = (a-2) [ -a(a^2-1) + 2 + a^2(a-1) ] = (a-2) [ -a^3 + a + 2 + a^3 - a^2 ]$$ $$|A| = (a-2) (-a^2 + a + 2)$$ Igualamos a cero para encontrar las raíces: 1. $a - 2 = 0 \implies a = 2$ 2. $-a^2 + a + 2 = 0 \implies a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2} = \frac{-1 \pm 3}{-2} \implies a = -1, a = 2$ El determinante es nulo si **$a = 2$** (raíz doble) o **$a = -1$**.

Analizamos los tres casos posibles basándonos en el determinante de $A$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -1$** Como $|A| \neq 0$, entonces $rg(A) = 3$. Al ser la matriz ampliada $A^*$ de dimensión $3 \times 4$, su rango también debe ser 3. Como el número de incógnitas es $n=3$: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ **Caso 2: $a = -1$** La matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, luego $rg(A) = 2$. Analizamos $rg(A^*)$ con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -3 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 3(0-5) - 1(-12-0) + (-4)(-3-0) = -15 + 12 + 12 = 9 \neq 0$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}$ **Caso 3: $a = 2$** La matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. El menor $\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -6 \neq 0$, luego $rg(A) = 2$. Observamos que la primera columna de $A^*$ es nula. Calculamos el determinante de las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -2 & 2 & -4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(-10) - 2(3-5) - 4(6) = 20 + 4 - 24 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $rg(A^*) = 2$. $$rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}$$

Para resolver el sistema general, sumamos la primera y segunda ecuación: $$[(2-a)x - ay + 2z] + [(a-2)x + (a+1)y] = -4 + 5$$ $$0x + y + 2z = 1 \implies y = 1 - 2z$$ Sustituimos en la tercera ecuación: $y + (a^2-a)z = 3-a$ $$(1-2z) + (a^2-a)z = 3-a \implies z(a^2-a-2) = 2-a$$ Como $(a^2-a-2) = (a-2)(a+1)$: $$z(a-2)(a+1) = -(a-2) \implies z = \frac{-(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{-1}{a+1}$$ Ahora hallamos $y$: $$y = 1 - 2\left(\frac{-1}{a+1}\right) = \frac{a+1+2}{a+1} = \frac{a+3}{a+1}$$ Finalmente, de la segunda ecuación $(a-2)x + (a+1)y = 5$: $$(a-2)x + (a+1)\frac{a+3}{a+1} = 5 \implies (a-2)x + a+3 = 5 \implies (a-2)x = 2-a$$ $$x = \frac{-(a-2)}{a-2} = -1$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\left(-1, \frac{a+3}{a+1}, \frac{-1}{a+1}\right)}$$

Si $a = 2$, el sistema queda: $$\begin{cases} 0x - 2y + 2z = -4 \\ 0x + 3y = 5 \\ 0x + y + 2z = 1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $3y = 5 \implies y = 5/3$. Sustituimos en la tercera: $5/3 + 2z = 1 \implies 2z = 1 - 5/3 = -2/3 \implies z = -1/3$. La primera ecuación se verifica: $-2(5/3) + 2(-1/3) = -10/3 - 2/3 = -12/3 = -4$. Como el coeficiente de $x$ es cero en todas las ecuaciones, $x$ puede tomar cualquier valor real $\lambda$. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(\lambda, 5/3, -1/3) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$