Área encerrada entre una función logarítmica y una recta

**Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $f(x) = \ln x$ y $g(x) = \frac{x-1}{e-1}$** Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies \ln x = \frac{x-1}{e-1}$$ Esta es una ecuación trascendente que no se puede resolver de forma algebraica convencional, pero podemos identificar los puntos mediante inspección evaluando valores notables de la función logaritmo: 1. Si **$x=1$**: $$f(1) = \ln 1 = 0$$ $$g(1) = \frac{1-1}{e-1} = \frac{0}{e-1} = 0$$ Ambas coinciden en el punto **$P_1(1, 0)$**. 2. Si **$x=e$**: $$f(e) = \ln e = 1$$ $$g(e) = \frac{e-1}{e-1} = 1$$ Ambas coinciden en el punto **$P_2(e, 1)$**. Como la función logaritmo es cóncava y $g(x)$ es una recta, solo pueden existir estos dos puntos de corte. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(1, 0) \text{ y } (e, 1)}$$

**Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.** El área viene dada por la integral definida entre los límites de corte ($x=1$ y $x=e$). Primero debemos determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $(1, e)$. Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x=2$: - $f(2) = \ln 2 \approx 0.693$ - $g(2) = \frac{2-1}{e-1} = \frac{1}{e-1} \approx \frac{1}{1.718} \approx 0.582$ Como $f(2) \gt g(2)$, la función $f(x) = \ln x$ queda por encima de la recta. El área $A$ es: $$A = \int_{1}^{e} \left( \ln x - \frac{x-1}{e-1} \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$.

Calculamos la integral indefinida de $f(x) = \ln x$ mediante el método de integración por partes. Tomamos: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme" para la integración por partes.

Calculamos ahora la integral indefinida de $g(x) = \frac{x-1}{e-1}$: $$\int \frac{x-1}{e-1} \, dx = \frac{1}{e-1} \int (x-1) \, dx = \frac{1}{e-1} \left( \frac{x^2}{2} - x \right)$$

Calculamos el área total aplicando la Regla de Barrow: $$A = \left[ x \ln x - x - \frac{1}{e-1} \left( \frac{x^2}{2} - x \right) \right]_1^e$$ Evaluamos en el límite superior ($x=e$): $$F(e) = (e \ln e - e) - \frac{1}{e-1} \left( \frac{e^2}{2} - e \right) = (e - e) - \frac{\frac{e^2-2e}{2}}{e-1} = - \frac{e(e-2)}{2(e-1)}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = (1 \ln 1 - 1) - \frac{1}{e-1} \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right) = (0 - 1) - \frac{1}{e-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 + \frac{1}{2(e-1)}$$ Restamos $F(e) - F(1)$: $$A = - \frac{e^2-2e}{2(e-1)} - \left( -1 + \frac{1}{2(e-1)} \right) = 1 - \frac{e^2-2e+1}{2(e-1)}$$ Observamos que $e^2-2e+1 = (e-1)^2$: $$A = 1 - \frac{(e-1)^2}{2(e-1)} = 1 - \frac{e-1}{2} = \frac{2 - (e-1)}{2} = \frac{3-e}{2}$$ Calculando el valor numérico aproximado: $$A = \frac{3 - 2.7182...}{2} \approx 0.1408 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{3-e}{2} \approx 0,1408 \text{ unidades cuadradas}}$$