Continuidad, derivabilidad y Teorema del Valor Medio

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-1, 3]$ y derivable en $(-1, 3)$. (1,25 puntos)** Para que la función $f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3}$ sea continua, el radicando debe ser mayor o igual a cero, ya que se trata de una raíz cuadrada. Analizamos el signo del trinomio de segundo grado $g(x) = 2x^2 + 2x + 3$ resolviendo la ecuación $2x^2 + 2x + 3 = 0$: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-20}}{4}$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -20 \lt 0$), la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que el trinomio $2x^2 + 2x + 3$ no corta al eje $X$ y siempre mantiene el mismo signo. Al ser el coeficiente principal positivo ($2 \gt 0$), la parábola siempre está por encima del eje $X$. Por tanto: $$2x^2 + 2x + 3 \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Dado que el radicando es siempre positivo, el dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Una función raíz cuadrada de un polinomio es continua en todos los puntos donde el polinomio es no negativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}, \text{ y por tanto en } [-1, 3]}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la función derivada $f'(x)$ utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2x + 3}} \cdot (4x + 2) = \frac{2(2x + 1)}{2\sqrt{2x^2 + 2x + 3}} = \frac{2x + 1}{\sqrt{2x^2 + 2x + 3}}$$ La función derivada $f'(x)$ existe siempre que el denominador no sea cero y el radicando sea positivo. Como ya hemos demostrado en el paso anterior que $2x^2 + 2x + 3 \gt 0$ para cualquier valor de $x$ real, la derivada está definida para todo $\mathbb{R}$. Por tanto, $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R}$, y en particular es derivable en el intervalo abierto $(-1, 3)$. 💡 **Tip:** Si una función es derivable en un conjunto, también lo es en cualquier subconjunto de este. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } (-1, 3)}$$

**b) Comprueba que existe un valor $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)** Para resolver este apartado utilizaremos el **Teorema del Valor Medio (o de Lagrange)**. **Enunciado:** Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$, entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ **Justificación de uso:** 1. En el apartado anterior se demostró que $f(x)$ es continua en $[-1, 3]$. 2. En el apartado anterior se demostró que $f(x)$ es derivable en $(-1, 3)$. Como se cumplen ambas hipótesis para el intervalo $[-1, 3]$, podemos asegurar la existencia de dicho valor $\alpha$.

Aplicamos la fórmula del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[a, b] = [-1, 3]$. Primero calculamos los valores de la función en los extremos: Para $x = -1$: $$f(-1) = \sqrt{2(-1)^2 + 2(-1) + 3} = \sqrt{2 - 2 + 3} = \sqrt{3}$$ Para $x = 3$: $$f(3) = \sqrt{2(3)^2 + 2(3) + 3} = \sqrt{18 + 6 + 3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ Calculamos la pendiente de la recta secante que une ambos puntos: $$\frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Según el Teorema del Valor Medio, existe un $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, que es exactamente lo que se pedía demostrar. 💡 **Tip:** El Teorema del Valor Medio garantiza que existe un punto donde la recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists \alpha \in (-1, 3) \mid f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$