Continuidad y extremos de una función trigonométrica

**a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[0, 1]$. (0,5 puntos)** La función dada es $f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x)$. Para analizar su continuidad, observamos que: 1. La función $\cos(\pi x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser una función trigonométrica compuesta con un polinomio. 2. La función $\sin(\pi x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por el mismo motivo. Como $f(x)$ es la **suma de dos funciones continuas**, la función resultante es continua en todo su dominio, es decir, en $\mathbb{R}$. Por tanto, es continua en cualquier subintervalo de su dominio. 💡 **Tip:** Recuerda que la suma, resta y producto de funciones continuas siempre da como resultado una función continua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en el intervalo } [0, 1]}$$

**b) Halla sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (2 puntos)** Para garantizar la existencia de extremos absolutos, utilizaremos el **Teorema de Weierstrass**. **Enunciado del Teorema de Weierstrass:** Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces $f(x)$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. **Justificación de su uso:** - La función $f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x)$ es continua en $[0, 1]$ (demostrado en el apartado anterior). - El intervalo $[0, 1]$ es cerrado y acotado. - Por tanto, el teorema asegura que existen puntos en $[0, 1]$ donde la función toma sus valores máximo y mínimo absolutos. 💡 **Tip:** Los candidatos a extremos absolutos en un intervalo cerrado son: 1. Los puntos donde la derivada es cero ($f'(x)=0$). 2. Los puntos donde la función no es derivable (en este caso es derivable en todo el intervalo). 3. Los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=1$).

Calculamos la derivada de $f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x)$ para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = -\pi \sin(\pi x) + \pi \cos(\pi x)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los candidatos a extremos relativos: $$-\pi \sin(\pi x) + \pi \cos(\pi x) = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $\pi$ (ya que $\pi \neq 0$): $$-\sin(\pi x) + \cos(\pi x) = 0 \implies \sin(\pi x) = \cos(\pi x)$$ Dividiendo por $\cos(\pi x)$ (buscando valores donde $\cos(\pi x) \neq 0$): $$\tan(\pi x) = 1$$ Buscamos los valores de $\pi x$ cuya tangente es $1$ en el intervalo correspondiente: $$\pi x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{1}{4} + k$$ Como buscamos valores dentro del intervalo $[0, 1]$, la única solución es para $k=0$: $$\boxed{x = \frac{1}{4}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $(0, 1)$ dividiéndolo por el punto crítico $x=1/4$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/4) & 1/4 & (1/4, 1) \\\hline f'(x) & + & 0 & - \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x = 1/8 \in (0, 1/4)$: $f'(1/8) = \pi(\cos(\pi/8) - \sin(\pi/8)) \gt 0$ (ya que en el primer octante el coseno es mayor que el seno). - Para $x = 1/2 \in (1/4, 1)$: $f'(1/2) = -\pi \sin(\pi/2) + \pi \cos(\pi/2) = -\pi(1) + \pi(0) = -\pi \lt 0$. Por tanto, en $x = 1/4$ hay un **máximo relativo**. ✅ **Resultado (extremo relativo):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = \frac{1}{4}}$$

Evaluamos la función en los extremos del intervalo ($x=0, x=1$) y en el punto crítico ($x=1/4$) para determinar los valores absolutos: 1. **En $x = 0$:** $$f(0) = \cos(0) + \sin(0) = 1 + 0 = 1$$ 2. **En $x = 1/4$:** $$f(1/4) = \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1,41$$ 3. **En $x = 1$:** $$f(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1$$ Comparando los valores: - El valor más grande es $\sqrt{2}$, que se alcanza en $x = 1/4$. - El valor más pequeño es $-1$, que se alcanza en $x = 1$. ✅ **Resultado (extremos absolutos):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Máximo absoluto: } & (1/4, \sqrt{2}) \\ \text{Mínimo absoluto: } & (1, -1) \end{aligned}}$$