Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}$ (1,25 puntos)** Evaluamos el límite directamente sustituyendo $x$ por $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}} = \frac{(\ln \infty)^2}{\sqrt{\infty}} = \frac{\infty}{\infty}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ resulta en $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $[(\ln x)^2]' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$ - Denominador: $[\sqrt{x}]' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2\ln x}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4\sqrt{x}\ln x}{x}$$ Simplificamos la expresión usando que $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4\ln x}{\sqrt{x}}$$ Si volvemos a evaluar, obtenemos de nuevo $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo: - Numerador: $[4\ln x]' = \frac{4}{x}$ - Denominador: $[\sqrt{x}]' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ Sustituimos: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4\ln x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{8\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{8}{\sqrt{x}}$$ Evaluamos el límite final: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{8}{\sqrt{x}} = \frac{8}{\infty} = 0$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}} = 0}$$

**b) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}}$ (1,25 puntos)** Evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $1$: $$\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}} = 1^{\frac{2(1)}{1-1}} = 1^{\frac{2}{0}} = 1^{\infty}$$ Nos encontramos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$. Para resolver este tipo de límites de la forma $f(x)^{g(x)}$, utilizaremos la transformación logarítmica o la fórmula exponencial. 💡 **Tip:** El límite $\lim f(x)^{g(x)}$ se puede resolver como $e^L$, donde $L = \lim [g(x) \cdot (f(x)-1)]$. También se puede usar $\ln L = \lim g(x) \ln f(x)$.

Aplicamos la propiedad: $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$. Calculamos el límite del exponente: $$L = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{x-1} (x-1)$$ En este caso, los términos $(x-1)$ se simplifican directamente: $$L = \lim_{x \to 1} 2x = 2(1) = 2$$ Por lo tanto, el límite original es: $$\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}} = e^2$$ 💡 **Nota:** Si no se hubiera simplificado directamente, habríamos aplicado L'Hôpital a la expresión resultante. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}} = e^2}$$