Vértices de un cuadrado a partir de un punto medio y una recta

Para trabajar con la recta $r$ de forma eficiente, primero vamos a obtener su ecuación paramétrica. Dada la recta en su forma implícita: $$r \equiv \begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $z$: $$z = 2x - 2$$ Sustituimos $z$ en la primera ecuación para despejar $y$: $$2x + 2y + (2x - 2) = 0 \implies 4x + 2y - 2 = 0 \implies 2x + y - 1 = 0 \implies y = 1 - 2x$$ Si llamamos $x = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos un punto $R$ de la recta y su vector director $\vec{v_r}$: $$\boxed{R(0, 1, -2), \quad \vec{v_r} = (1, -2, 2)}$$

El enunciado nos dice que $P(4, 5, 0)$ es el punto medio de un lado y que el lado opuesto está en la recta $r$. El punto medio de ese segundo lado, al que llamaremos $M'$, será la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$. Para hallar $M'$, construimos un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. El vector normal del plano será el vector director de la recta: $\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, -2, 2)$. Ecuación del plano $\pi$: $$1(x - 4) - 2(y - 5) + 2(z - 0) = 0$$ $$x - 4 - 2y + 10 + 2z = 0 \implies x - 2y + 2z + 6 = 0$$ Ahora calculamos la intersección de $r$ con $\pi$ sustituyendo las paramétricas de la recta en el plano: $$\lambda - 2(1 - 2\lambda) + 2(-2 + 2\lambda) + 6 = 0$$ $$\lambda - 2 + 4\lambda - 4 + 4\lambda + 6 = 0 \implies 9\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las ecuaciones de $r$, obtenemos el punto $M'$: $$\boxed{M'(0, 1, -2)}$$ 💡 **Tip:** El punto $M'$ es el punto de la recta $r$ más cercano a $P$.

En un cuadrado, la distancia entre los puntos medios de dos lados paralelos es igual a la longitud del lado del cuadrado, $L$. Calculamos la distancia entre $P(4, 5, 0)$ y $M'(0, 1, -2)$: $$L = d(P, M') = \sqrt{(0 - 4)^2 + (1 - 5)^2 + (-2 - 0)^2}$$ $$L = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$$ Por tanto, el lado del cuadrado mide **$L = 6$**. 💡 **Tip:** Como el lado mide 6, los vértices que buscamos en la recta $r$ estarán a una distancia de $L/2 = 3$ unidades del punto medio $M'$.

Los vértices $V_1$ y $V_2$ del segundo lado se encuentran en la recta $r$, a una distancia de $3$ unidades a cada lado de $M'$. Utilizaremos el vector director unitario de la recta. Primero, normalizamos el vector $\vec{v_r} = (1, -2, 2)$: $$|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$ El vector unitario es $\vec{u} = \frac{1}{3}(1, -2, 2)$. Los vértices son: $$V = M' \pm \frac{L}{2} \cdot \vec{u} = (0, 1, -2) \pm 3 \cdot \frac{1}{3}(1, -2, 2)$$ $$V = (0, 1, -2) \pm (1, -2, 2)$$ Calculamos cada vértice: - **Vértice 1 ($V_1$):** $(0, 1, -2) + (1, -2, 2) = (1, -1, 0)$ - **Vértice 2 ($V_2$):** $(0, 1, -2) - (1, -2, 2) = (-1, 3, -4)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{V_1(1, -1, 0), \quad V_2(-1, 3, -4)}$$