Intersección recta-plano y área de un triángulo en el espacio

**a) Demuestra que los puntos $A, B$ y $C$ no están alineados. (1,25 puntos)** Primero, debemos hallar las coordenadas del punto $C$, que es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de la recta y el plano: $$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 2z = -3 \\ -x - y + z = -4 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $x$: $$x = -3 - 2z$$ Sustituimos $x$ en la tercera ecuación para despejar $y$: $$-(-3 - 2z) - y + z = -4 \implies 3 + 2z - y + z = -4 \implies -y + 3z = -7 \implies y = 3z + 7$$ Ahora, sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación del plano $\pi$: $$2(-3 - 2z) + (3z + 7) - z = 5$$ $$-6 - 4z + 3z + 7 - z = 5 \implies -2z + 1 = 5 \implies -2z = 4 \implies z = -2$$ Calculamos los valores de $x$ e $y$: $$x = -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1$$ $$y = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$$ El punto de intersección es: $$\boxed{C(1, 1, -2)}$$

Para demostrar que los puntos $A(3, 2, -1)$, $B(1, 1, -1)$ y $C(1, 1, -2)$ no están alineados, calculamos los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ y comprobamos si son proporcionales. $$\overrightarrow{AB} = B - A = (1-3, 1-2, -1-(-1)) = (-2, -1, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (1-3, 1-2, -2-(-1)) = (-2, -1, -1)$$ Si estuvieran alineados, existiría un número $k$ tal que $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$: $$(-2, -1, 0) = k(-2, -1, -1) \implies \begin{cases} -2 = -2k \implies k = 1 \\ -1 = -k \implies k = 1 \\ 0 = -k \implies k = 0 \end{cases}$$ Como obtenemos valores de $k$ distintos ($1$ y $0$), los vectores son linealmente independientes. 💡 **Tip:** Tres puntos no están alineados si los vectores que forman no son proporcionales, es decir, no tienen la misma dirección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos } A, B \text{ y } C \text{ no están alineados pues } \overrightarrow{AB} \text{ y } \overrightarrow{AC} \text{ son linealmente independientes.}}$$

**b) Calcula el área del triángulo que conforman los tres puntos. (1,25 puntos)** El área del triángulo definido por tres puntos $A, B$ y $C$ se calcula mediante la fórmula: $$Área = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ mediante el determinante: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{i} [(-1)(-1) - (0)(-1)] - \vec{j} [(-2)(-1) - (0)(-2)] + \vec{k} [(-2)(-1) - (-1)(-2)]$$ $$\vec{i} (1 - 0) - \vec{j} (2 - 0) + \vec{k} (2 - 2) = 1\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que forman.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$$ Aplicamos la fórmula del área del triángulo: $$Área = \frac{1}{2} \sqrt{5} \approx 1,118 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = \frac{\sqrt{5}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$