Propiedades de las matrices y resolución de ecuaciones matriciales

**a) Demuestra que $A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$ (1,5 puntos)** Partimos de la igualdad proporcionada en el enunciado: $$Q \cdot A \cdot P = I$$ Como el enunciado indica que las matrices son **regulares**, esto significa que tienen inversa ($Q^{-1}$ y $P^{-1}$ existen). Para despejar $A$, multiplicamos por la izquierda por $Q^{-1}$ y por la derecha por $P^{-1}$: 1. Multiplicamos por la izquierda por $Q^{-1}$: $$Q^{-1} \cdot (Q \cdot A \cdot P) = Q^{-1} \cdot I \implies (Q^{-1} \cdot Q) \cdot A \cdot P = Q^{-1}$$ $$I \cdot A \cdot P = Q^{-1} \implies A \cdot P = Q^{-1}$$ 2. Multiplicamos por la derecha por $P^{-1}$: $$(A \cdot P) \cdot P^{-1} = Q^{-1} \cdot P^{-1} \implies A \cdot (P \cdot P^{-1}) = Q^{-1} \cdot P^{-1}$$ $$A \cdot I = Q^{-1} \cdot P^{-1} \implies A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que es fundamental multiplicar por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad. Además, $M \cdot M^{-1} = I$ y $M \cdot I = M$. $$\boxed{A = Q^{-1} \cdot P^{-1}}$$

Ahora que conocemos la expresión de $A$, vamos a sustituirla en el lado izquierdo de la igualdad que queremos demostrar: $A \cdot P \cdot Q \cdot A$. Sustituimos $A$ por $Q^{-1} \cdot P^{-1}$: $$A \cdot P \cdot Q \cdot A = (Q^{-1} \cdot P^{-1}) \cdot P \cdot Q \cdot (Q^{-1} \cdot P^{-1})$$ Usamos la propiedad asociativa para agrupar los productos de matrices con sus inversas: $$Q^{-1} \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot (Q \cdot Q^{-1}) \cdot P^{-1}$$ Como $P^{-1} \cdot P = I$ y $Q \cdot Q^{-1} = I$: $$Q^{-1} \cdot I \cdot I \cdot P^{-1}$$ Simplificando por la propiedad de la matriz identidad: $$Q^{-1} \cdot P^{-1}$$ Queda demostrado que: $$\boxed{A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}}$$

**b) Calcula la matriz $A$ para el caso en que $P$ y $Q$ sean las siguientes: $P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (1 punto)** Según el apartado anterior, sabemos que $A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$. Primero calculamos $Q^{-1}$. 1. Hallamos el determinante de $Q$: $$|Q| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (0 \cdot 1) = 2$$ 2. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(Q)$: $$Adj(Q) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(Q))^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Calculamos la inversa: $$Q^{-1} = \frac{1}{|Q|} (Adj(Q))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (Adj(M))^t$.

Ahora calculamos $P^{-1}$ siguiendo los mismos pasos: 1. Hallamos el determinante de $P$: $$|P| = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = ((-1) \cdot (-1)) - (1 \cdot 2) = 1 - 2 = -1$$ 2. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(P)$: $$Adj(P) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(P))^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 4. Calculamos la inversa: $$P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos las matrices obtenidas para hallar $A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 1)$ y $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1)$ - Fila 2: $(-1/2 \cdot 1 + 1/2 \cdot 2 = -1/2 + 1 = 1/2)$ y $(-1/2 \cdot 1 + 1/2 \cdot 1 = -1/2 + 1/2 = 0)$ $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.5 & 0 \end{pmatrix}}$$