Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetro

Para estudiar el sistema, lo expresamos en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a^2+a \\ 1 & 2a-1 & a+1 \\ 0 & 2a-1 & a+1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a^2+a & | & 0 \\ 1 & 2a-1 & a+1 & | & a \\ 0 & 2a-1 & a+1 & | & 0 \end{pmatrix}$$ El resultado teórico que emplearemos es el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que permite determinar la compatibilidad de un sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($rg(A)$) con el de la ampliada ($rg(A^*)$): - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. - Si $rg(A) = rg(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo el rango es máximo (3).

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, restamos la fila 3 a la fila 2 ($F_2 - F_3 \to F_2$): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a^2+a \\ 1 & 2a-1 & a+1 \\ 0 & 2a-1 & a+1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a^2+a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2a-1 & a+1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$|A| = -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & a^2+a \\ 2a-1 & a+1 \end{vmatrix} = -1 \cdot [0 - (2a-1)(a^2+a)] = (2a-1)(a^2+a)$$ $$|A| = (2a-1)a(a+1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$(2a-1)a(a+1) = 0 \implies \mathbf{a = 0, \; a = -1, \; a = 1/2}$$ 💡 **Tip:** Usar transformaciones elementales en determinantes facilita mucho el cálculo cuando aparecen expresiones polinómicas.

**Caso 1: Si $a \neq 0, a \neq -1$ y $a \neq 1/2$** $|A| \neq 0 \implies rg(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: Si $a = -1$** $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & -3 & 0 & | & -1 \\ 0 & -3 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ $|A|=0$. Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 \neq 0 \implies rg(A)=2$. Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 3) = -3 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 3: Si $a = 1/2$** $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3/4 & | & 0 \\ 1 & 0 & 3/2 & | & 1/2 \\ 0 & 0 & 3/2 & | & 0 \end{pmatrix}$$ $|A|=0$. Menor en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 3/4 \\ 1 & 3/2 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \neq 0 \implies rg(A)=2$. Buscamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3/4 & 0 \\ 1 & 3/2 & 1/2 \\ 0 & 3/2 & 0 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4} \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 4: Si $a = 0$** $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Las filas 2 y 3 son iguales $\implies rg(A) = rg(A^*) = 2$. Como $2 < 3$ (incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**.

Resolvemos el sistema general: 1) $x + (a^2+a)z = 0$ 2) $x + (2a-1)y + (a+1)z = a$ 3) $(2a-1)y + (a+1)z = 0$ Restamos la ecuación (3) a la (2): $$[x + (2a-1)y + (a+1)z] - [(2a-1)y + (a+1)z] = a - 0 \implies \mathbf{x = a}$$ Sustituimos $x=a$ en la ecuación (1): $$a + (a^2+a)z = 0 \implies a + a(a+1)z = 0$$ Como $a \neq 0$, podemos dividir por $a$: $$1 + (a+1)z = 0 \implies (a+1)z = -1 \implies \mathbf{z = \frac{-1}{a+1}}$$ Sustituimos $z$ en la ecuación (3): $$(2a-1)y + (a+1)\left(\frac{-1}{a+1}\right) = 0 \implies (2a-1)y - 1 = 0 \implies \mathbf{y = \frac{1}{2a-1}}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\left(a, \frac{1}{2a-1}, \frac{-1}{a+1}\right)}$$

Para $a=0$, el sistema queda: $$\begin{cases} x = 0 \\ x - y + z = 0 \\ -y + z = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación tenemos $x=0$. De las otras dos, obtenemos $y=z$. Parametrizamos haciendo $z = \lambda$: $$x = 0, \quad y = \lambda, \quad z = \lambda$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(0, \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$